2旭川医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

L=2n$\pi$, t=x-L (0$\le$ t$\le$$\pi$) とおくと、$f(x)=(L+t)\sin t$ である。

問1. t に関する導関数は $$f'(x)=\sin t+(L+t)\cos t,\qquad f''(x)=2\cos t-(L+t)\sin t.$$ $0\le t\le\pi/2$ では $f'(x)>0$。また $\pi/2\le t\le\pi$ では $f''(x)<0$ なので $f'$はこの範囲で減少し、異なるxの値で同じ値をとらず、$f'(L+\pi/2)=1>0$、$f'(L+\pi)=-(L+\pi)<0$ より、この区間にただ1つ零点 $t=\alpha_n$ がある。これが唯一の極大点で、$\pi/2<\alpha_n<\pi$。

変曲点について、$g(t)=f''(L+t)$ とおくと $$g'(t)=-3\sin t-(L+t)\cos t<0\quad(0\le t\le\pi/2),$$ $g(0)=2>0$、$g(\pi/2)=-(L+\pi/2)<0$ だから $0\le t\le\pi/2$ に零点がただ1つある。 一方 $\pi/2\le t\le\pi$ では $g(t)<0$。したがって符号が正から負に変わる変曲点はただ1つで、その位置を $t=\beta_n$ とすれば $0<\beta_n<\pi/2<\alpha_n<\pi$。よって指定の不等式を得る。

問2. $\delta_n=\alpha_n-\pi/2$ とする。極大点の条件から $\tan\delta_n=1/(L+\alpha_n)$。$\tan u>u\ (0<u<\pi/2)$ より $0<\delta_n<1/L$、従って $a_n-L=\alpha_n\to\pi/2$。また変曲点条件から $\tan\beta_n=2/(L+\beta_n)$ なので $0<\beta_n<2/L$、従って $b_n-L=\beta_n\to0$。同じ条件 $(L+\beta_n)\sin\beta_n=2\cos\beta_n$ より $f(b_n)=2\cos\beta_n\to2$。

問3. 原始関数を $P_L(t)=-(L+t)\cos t+\sin t$ とすると $P_L'(t)=(L+t)\sin t$。左半分と右半分の面積差は $$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)=[P_L(\pi)-P_L(\pi/2)]-[P_L(\pi/2)-P_L(0)].$$ ここで $P_L(\pi)=L+\pi,\ P_L(\pi/2)=1,\ P_L(0)=-L$ だから、値は $\pi-2$。

問4. $0\le S_1\le (L+\beta_n)(1-\cos\beta_n)$。変曲点条件から $L+\beta_n=2\cot\beta_n$ なので $$\displaystyle (L+\beta_n)(1-\cos\beta_n)=\frac{2\sin\beta_n\cos\beta_n}{1+\cos\beta_n}\le2\sin\beta_n\longrightarrow0.$$ ゆえに $S_1\to0$。極大点条件 $(L+\alpha_n)\cos\alpha_n=-\sin\alpha_n$ を使うと $$S_3=P_L(\alpha_n)-P_L(\pi/2)=2\sin\alpha_n-1\longrightarrow1.$$ さらに問3の等式から $S_4-S_2=\pi-2+S_1-S_3\to\pi-3$。