1旭川医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

恒等式 $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$ に $x=p,\ y=-q,\ z=-3r$ を代入すると、 $$f(p,q,r)=(p-q-3r)(p^2+q^2+9r^2+pq+3pr-3qr)$$ を得る。

問2で第2因子を $$\displaystyle Q=p^2+pq+3pr+\left(q-\frac32r\right)^2+\frac{27}{4}r^2$$ と書けば、$p,q,r$ は正の整数なので $Q>0$。したがって $f(p,q,r)=0$ より $$p-q-3r=0,\qquad p=q+3r.$$ これをもう一つの条件に代入すると $$p^2-10q-30r=p^2-10(q+3r)=p^2-10p=11,$$ よって $$(p-11)(p+1)=0.$$ $p>0$ だから $p=11$。従って $q+3r=11$ であり、$q,r$ が正の整数であることから $r=1,2,3$。それぞれ $q=8,5,2$ となる。いずれも $p=q+3r$ を満たすので、求める組は $$(11,8,1),\ (11,5,2),\ (11,2,3)$$ である。