2自治医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

分母を共役な二項式で有理化すると、 $$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\qquad y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$$ したがって、 $$x+y=2\sqrt{3}\ne 0,\qquad xy=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1.$$ 三乗の和の公式より $$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$$ である。ここで $x+y\ne0$ だから、 $$\displaystyle \frac{x^3+y^3}{x+y}=(x+y)^2-3xy=(2\sqrt{3})^2-3\cdot1=9.$$ よって求める値は $9$ であり、選択肢は $\text{㋻}$ である。