19自治医科大学 2017年 数学 第19問解答・解説

$F(x)=3x^{4}+4x^{3}-102x^{2}+180x+10$ とおく。直線 $y=k$ との交点は方程式 $F(x)=k$ の実数解に対応する。導関数は $$F'(x)=12x^{3}+12x^{2}-204x+180 =12(x+5)(x-1)(x-3).$$ したがって $F$ は $x<-5$ で減少し、$-5<x<1$ で増加し、$1<x<3$ で減少し、$x>3$ で増加する。各極値は $$F(-5)=-2065,\qquad F(1)=95,\qquad F(3)=-17.$$ また最高次の係数が正なので、$x\to\pm\infty$ で $F(x)\to+\infty$ である。よって、四つの単調な部分すべてで一度ずつ交点をもつのは、二つの極小値のうち大きい $-17$ より上で、極大値 $95$ より下のとき、すなわち $$-17<k<95$$ である。端点では極値をとる点で重なり、異なる交点は四つにならない。したがって $a=-17,\ b=95$ であり、 $$\displaystyle \frac{a+b}{26}=\frac{-17+95}{26}=\frac{78}{26}=3.$$ 求める値は $3$（選択肢㋟）である。