2近畿大学 2017年 数学 第2問解答・解説

$a>0$であり、 $$f'(x)=3(x^2-a^2)=3(x-a)(x+a)$$ である。したがって$x<-a$および$x>a$で増加し、$-a<x<a$で減少する。よって$x=-a$で極大、$x=a$で極小となり、 $$f(-a)=4a^3,\qquad f(a)=0.$$ 従って$m_1=0$、$m_2=4a^3$である。

(2) まず$0<a\leq3$なら、極大点の $x$ 座標 $-a$ が $-3\le-a\le3$ を満たす。端点の値を極大値と比べると $$f(-3)-m_2=-27+9a^2-2a^3=-(a-3)^2(2a+3)\leq0,$$ $$\displaystyle f(3)-m_2=27-9a^2-2a^3=2\left(\frac32-a\right)(a+3)^2.$$ したがって区間最大値が$m_2$となるのは$f(3)\leq m_2$、すなわち$\displaystyle a\geq\frac32$のときである。この範囲に$a\leq3$を合わせる。

$a>3$では$-3\leq x\leq3$のすべてで$f'(x)<0$だから、区間最大値は$f(-3)$である。また上の因数分解から$f(-3)-m_2=-(a-3)^2(2a+3)<0$なので、この場合は$M(a)\ne m_2$。ゆえに $$\displaystyle M(a)=m_2\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \frac32\leq a\leq3.$$

(3) (2)の比較を使うと、区間最大値は $$\displaystyle M(a)=\begin{cases} f(3)=27-9a^2+2a^3 &(0<a\leq\frac32),\\ 4a^3 &(\frac32\leq a\leq3),\\ f(-3)=-27+9a^2+2a^3 &(a\geq3). \end{cases}$$ 第1式の導関数は$6a(a-3)<0$（$\displaystyle 0<a\leq\frac32$）なので減少し、第2式は増加する。第3式の導関数は$18a+6a^2>0$なので増加する。従って全体の最小値は境界$\displaystyle a=\frac32$でとり、 $$\displaystyle M\left(\frac32\right)=4\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{2}.$$ 端点式でも$\displaystyle 27-9\cdot\frac94+2\cdot\frac{27}{8}=\frac{27}{2}$となり一致する。