2広島大学 2017年 数学 第2問解答・解説

・ $f'(t)=3t^2-2a$ であり、$t_0=\sqrt{2a/3}>0$ とすると、$t<t_0$ で $f'(t)<0$、$t>t_0$ で $f'(t)>0$ である。したがって $t=t_0$ で最小となる。$2a=3t_0^2$ より、$$\displaystyle f(t_0)=t_0^3-2at_0+1=1-2t_0^3=1-2\left(\frac{2a}{3}\right)^{3/2}.$$

・ (1)の最小値が $0$ となる条件は $2(2A/3)^{3/2}=1$ である。よって $(2A/3)^{3/2}=1/2$ から $2A/3=2^{-2/3}$、すなわち $A=3\cdot2^{-5/3}$。したがって $A^3=27/2^5=27/32$。

・ 共有点では $y=x^4$ と $x^2+(y-a)^2=a^2$ が成り立つので、$$x^2+(x^4-a)^2=a^2\quad\text{すなわち}\quad x^2(x^6-2ax^2+1)=0.$$ $x=0$ は常に共有点 $(0,0)$ を与える。$x\ne0$ では $u=x^2>0$ とおくと $u^3-2au+1=0$ となる。この左辺は (1) の $f(u)$ であり、$u=0$ で $1$、$u=\sqrt{2a/3}$ で最小値 $1-2(2a/3)^{3/2}$ をとり、$u\to\infty$ で $+\infty$ となる。$A=3/2^{5/3}$ とすると、この最小値は $a<A$ で正、$a=A$ で $0$、$a>A$ で負である。したがって正の解 $u$ は順に $0,1,2$ 個である。各正の解 $u$ は $x=\pm\sqrt{u}$ の2点を与えるから、共有点の個数はそれぞれ $1,3,5$ 個である。

・ 点 $P=(x,x^4)$ と $(0,a)$ の距離を $d$ とすると、$d^2=x^2+(x^4-a)^2$ であり、$x=0$ では $d=a$ である。よって最小距離が $a$ となるための必要十分条件は、すべての $x$ で $d^2\geq a^2$ となることである。差を因数分解すると$$d^2-a^2=x^2(x^6-2ax^2+1).$$ $x\ne0$ で $u=x^2>0$ とおけば、必要十分条件は $u^3-2au+1\geq0$ がすべての $u>0$ で成り立つことである。(1)よりこの関数の最小値は $1-2(2a/3)^{3/2}$ なので、条件は $a\leq A$ である。もともと $a>0$ だから、求める範囲は $0<a\leq A$。