19自治医科大学 2015年 数学 第19問解答・解説

円 $C_2$ の半径を $t=AP$ とおく。点 $P$ は円 $C_1$ 上にあり $y$ 座標が正なので、$P$ は $A,B$ のいずれでもない。したがって $0<t<2a$ である。

円 $C_2$ の方程式は $(x+a)^2+y^2=t^2$ だから、$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-a-t,-a+t$ である。前者は $-a$ より小さく線分 $AB$ 上にない。後者は $-a<-a+t<a$ を満たす。よって線分 $AB$ と円 $C_2$ の交点はただ一つで、$Q=(-a+t,0)$ となる。

$P=(x_P,y_P)$ とすると、$P$ は円 $C_1,C_2$ 上にあるから $$x_P^2+y_P^2=a^2,\qquad (x_P+a)^2+y_P^2=t^2.$$ 二式の差をとると $$\displaystyle x_P=\frac{t^2}{2a}-a,\qquad y_P^2=a^2-x_P^2=t^2\left(1-\frac{t^2}{4a^2}\right).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} PQ^2&=(x_Q-x_P)^2+y_P^2\\ &=\left(t-\frac{t^2}{2a}\right)^2+t^2\left(1-\frac{t^2}{4a^2}\right)\\ &=2t^2-\frac{t^3}{a}. \end{aligned}$$ ここで $u=t/a$ とおくと $0<u<2$ であり、$PQ^2=a^2u^2(2-u)$ である。$g(u)=u^2(2-u)$ とすれば $$g'(u)=u(4-3u).$$ よって $\displaystyle 0<u<\frac43$ では $g$ は増加し、$\displaystyle \frac43<u<2$ では減少する。最大値は $\displaystyle u=\frac43$ のときにとる。この値は範囲内であり、実際にこのとき $\displaystyle x_P=-\frac a9$、$\displaystyle y_P=\frac{4\sqrt5}{9}a>0$ となるので実現する。 $$\displaystyle M^2=a^2\left(\frac43\right)^2\left(2-\frac43\right)=\frac{32}{27}a^2, \qquad M=\frac{4\sqrt6}{9}a.$$ したがって $$\displaystyle \frac{3\sqrt6M}{2a}=\frac{3\sqrt6}{2a}\cdot\frac{4\sqrt6}{9}a=4.$$ 共通の選択肢では $4$ に対応する記号はナである。