自治医科大学／前期
2015年度の数学自治医科大学・全25問
- 1整式 x⁴+ax³+bx²-25x-132 が，整式 x²+x-12 で割り切れるとき， a+b の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ 5 ，㋮ 6 …
- 2log2 a+log2 b=1 ， a+ b=3 （ a,b,c は正の実数， c≠1 ）がともに成立しているとき， 2 (a+b) の最小値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，…
- 3関数 f(x)=9^x+9^(-x)-20/9(3^(1-x)+3^(1+x)) （ x は正の実数）は， x=a のとき最小値をとる。 a の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2…
- 4x=2+√3 ， y=2-√3 のとき， 1/2 (y/x+x/y ) の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ 5 ，㋮ 6 ，㋳ 7 ，㋶ 8 ，㋻ …
- 5a,b は整数とする（ ab≠0 ）。 2/a+3/b=1 を満たす (a,b) は，何組あるか。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ 5 ，㋮ 6 ，㋳ 7 ，㋶…
- 62つの放物線 C1:y=x² ， C2:y=x²-ax+a+a³/2 （ a は正の実数）について考える。直線 L は C1,C2 にそれぞれ点 A,B で接する。点 A,B の x 座標をそ…
- 7四角形 ABCD は，円に内接する。各辺は，それぞれ， AB=2 ， BC=3 ， CD=4 ， DA=5 であるとする。四角形 ABCD の面積を S とするとき， S/√30 の値を求めよ…
- 82つの点 A(1,-2,3) ， B(3,2,2) と xy 平面上を動く点 P について考える。線分 AP の長さと線分 PB の長さの和の最小値を m としたとき， m/√5 の値を求めよ…
- 9円 C:x²+y²=20 と円 C の外部に存在する点 R(8,a) （ a は負の実数）について考える。点 R を通り円 C に接する直線は2つ存在する。この2つの直線が円 C と接する点を…
- 10楕円 C:x²/9+y²/4=1 と直線 L:x-2y+10=0 について考える。楕円 C 上の点 P から直線 L に下ろした垂線と直線 L の交点を Q とする。線分 PQ の最大値を M…
- 11第10項が29，第15項が19である等差数列について考える。初項からの和の最大値を M としたとき， M/72 の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ …
- 12数列 an は， a1=1 ， an+1=1/3an+4 を満たしている。 Sn= =1ⁿak とするとき， → /n の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 …
- 13x-6,x,y がこの順で等比数列であり， x-9,x,y-x がこの順で等差数列であるとする（ x>6 ， y>0 ， x,y は実数）。 3y/x の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1…
- 141辺の長さが √15 である正四面体 OABC について考える。辺 OA を 1:3 に内分する点を M ，辺 BC を 3:5 に内分する点を N とする。 |→MN|=m としたとき， 6…
- 15| a|=5 ， | b|=2 ， | a- b|=3√5 であるとする。 | a+t b| は（ t は実数）， t=c のとき，最小値 m をとる。 mc/3 の値を求めよ。 選択肢：㋐ …
- 16△ ABC について考える。点 P は， 6→AP+3→BP+2→CP=→0 を満たすものとする。 △ ABC の面積を S1 ， △ PBC の面積を S2 としたとき， 11S2/S1 の…
- 17赤い玉が3個，白い玉が6個入っている袋から，玉を1個ずつ取り出すこととする。赤い玉を3個取り出したら終了とする。玉を6個取り出したときに終了する確率を p とする。 42p の値を求めよ。ただ…
- 18x+y+z=n （ x,y,z,n は0以上の整数）を満たす (x,y,z) の組の数を f(n) で与えることとする。 f(n)>185 となるような最小の n を a とするとき， a/2…
- 19円 C1:x²+y²=a² （ a は正の実数）のとき，円 C1 と x 軸との交点を A(-a,0) ， B(a,0) とする。円 C2 は点 A を中心とする円であり，円 C1 上の点 P…
- 20→∞ √(n+2)(n+3)-√(n-2)(n-3) =a とする。極限値 a を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ 5 ，㋮ 6 ，㋳ 7 ，㋶ 8 ，…
- 21関数 f(t)=∫0^(π/2)(x-tcos x)² dx は， t=a （ a は正の実数）で最小値をとるものとする。 a を超えない最大の整数の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，…
- 22関数 f(x)=2ax/(x²-ax+1) （ |a|<2 ， a は実数）の最大値が2となるとき， a のとる値は， p と q の2つ存在する。 |p-q| の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0…
- 233次方程式 x³+bx²+cx+d=0 （ b,c,d は実数）は，すべて異なる3つの実数解 α,β,γ （ α<β<γ ）をもつとする。 α+β+γ=3 ， α²+β²+γ²=9 ， αβγ…
- 24定積分 35/2∫0^(π/2)sin⁷x dx の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0 ，㋕ 1 ，㋚ 2 ，㋟ 3 ，㋤ 4 。 ㋩ 5 ，㋮ 6 ，㋳ 7 ，㋶ 8 ，㋻ 9 。
- 25関数 f(x) は，等式 f(x)=3x²∫-1¹f(t) dt+x∫0¹f'(t)² dt+∫0¹f(t) dt を満たす。 f(0)-1/4 の値を求めよ。 ∫0¹f(t) dt≠0 とす…