24自治医科大学 2015年 数学 第24問解答・解説

$u=\cos x$ とおくと、$du=-\sin x\,dx$ である。また、$\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では $\sin x\geq 0$ なので、 $$\sin^7x=(1-\cos^2x)^3\sin x.$$ 置換後の積分区間は $x=0$ で $u=1$、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ で $u=0$ となる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7x\,dx &=\int_1^0(1-u^2)^3(-du)\\ &=\int_0^1(1-u^2)^3\,du\\ &=\int_0^1(1-3u^2+3u^4-u^6)\,du\\ &=\left[u-u^3+\frac{3}{5}u^5-\frac{1}{7}u^7\right]_0^1\\ &=1-1+\frac{3}{5}-\frac{1}{7}=\frac{16}{35}. \end{aligned}$$ よって、求める値は $$\displaystyle \frac{35}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7x\,dx =\frac{35}{2}\cdot\frac{16}{35}=8.$$ 確認として、$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$ とおく。$n\geq2$ について部分積分すると、境界項は $0$ であり、 $$\displaystyle I_n=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx =(n-1)(I_{n-2}-I_n)$$ だから $\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ である。$I_1=1$ より $$\displaystyle I_7=\frac67\cdot\frac45\cdot\frac23 I_1=\frac{16}{35},$$ となり、上の積分値と一致する。共通の選択肢で $8$ に対応する記号は $\text{ラ}$ である。