自治医科大学 2015年数学第5問解答・解説

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1問題

自治医科大学2015年度第5問

$a,b$ は整数とする（ $ab\neq0$ ）。 $\displaystyle \frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1$ を満たす $(a,b)$ は，何組あるか。　選択肢：㋐ $0$ ，㋕ $1$ ，㋚ $2$ ，㋟ $3$ ，㋤ $4$ 。　㋩ $5$ ，㋮ $6$ ，㋳ $7$ ，㋶ $8$ ，㋻ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$a,b$ は整数で $ab\ne0$ だから、与式の両辺に $ab$ を掛けることができる。 $2b+3a=ab \quad\text{すなわち}\quad (a-2)(b-3)=6.$ ここで $x=a-2$ とおくと、 $x$ は $6$ の整数の約数であり、 $b-3=6/x$ である。 $x=1,2,3,6,-1,-2,-3,-6$ のそれぞれについて $a,b$ を求めると、 $\begin{array}{c|rrrrrrrr} x&1&2&3&6&-1&-2&-3&-6\\ \hline (a,b)&(3,9)&(4,6)&(5,5)&(8,4)&(1,-3)&(0,0)&(-1,1)&(-4,2) \end{array}$ となる。 $(0,0)$ は $ab\ne0$ に反するので除く。残る7組はすべて $ab\ne0$ で、上の同値変形を逆にたどれば与式を満たす。したがって条件を満たす $(a,b)$ は7組である。選択肢では $(\text{ヤ})$ に当たる。

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