14自治医科大学 2015年 数学 第14問解答・解説

正四面体の辺の長さが $\sqrt{15}$ なので、$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$、$\vec c=\overrightarrow{OC}$ とおくと、$|\vec a|^2=|\vec b|^2=|\vec c|^2=15$ である。また、例えば $|\vec a-\vec b|=|AB|=\sqrt{15}$ より $$15=|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b=30-2\vec a\cdot\vec b,$$ したがって $\vec a\cdot\vec b=15/2$ である。同様に、$\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=15/2$ となる。

$OM:MA=1:3$ だから $\overrightarrow{OM}=\vec a/4$。また、$BN:NC=3:5$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC} =\vec b+\frac{3}{8}(\vec c-\vec b) =\frac{5\vec b+3\vec c}{8}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} =\frac{-2\vec a+5\vec b+3\vec c}{8}.$$ したがって、内積を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} 64m^2&=|-2\vec a+5\vec b+3\vec c|^2\\ &=15(4+25+9)+2\left((-2)\cdot5+(-2)\cdot3+5\cdot3\right)\frac{15}{2}\\ &=570-15=555. \end{aligned}$$ ゆえに $m^2=555/64$ であり、 $$\displaystyle \frac{64m^2}{185}=\frac{555}{185}=3.$$ 選択肢は $\text{タ}$ である。