2福島県立医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

位置ベクトルを$\vec a,\vec c,\vec d$の係数で表す座標で考える。$\vec a,\vec c,\vec d$は互いに垂直で同じ長さなので、内積は係数の内積に辺の長さの2乗を掛けたものになる。以下ではこの共通因子を除いて計算する。各頂点および点を$$O=(0,0,0),\quad A=(1,0,0),\quad C=(0,1,0),\quad B=(1,1,0),\quad D=(0,0,1),\quad P=(x,y,1),\quad Q=(u,v,1)$$とおく。$Q$ は$DEFG$を含む平面上にあるから、この表示ができる。

(1) 直線$OP$と$BQ$の交点を$R$とし、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とおく。$R$は直線$BQ$上にもあるので、$B$から$Q$へ$t$だけ進んだ点として$$R=(1-t)B+tQ=(1-t+tu,\ 1-t+tv,\ t)$$と表せる。もし$t=0$なら最初の式から$0=1$となるため、$t\ne0$。したがって$$tx=1-t+tu,\qquad ty=1-t+tv,$$より$$\displaystyle u=x+1-\frac1t,\qquad v=y+1-\frac1t.$$方向ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,y,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=(u-1,v-1,1)$の内積が0であることから、$$\displaystyle 0=x(u-1)+y(v-1)+1=x^2+y^2+1-\frac{x+y}{t}.$$よって$x+y=0$ではこの等式を満たす$t$がなく、$x+y\ne0$のとき$$\displaystyle t=\frac{x+y}{x^2+y^2+1}.$$これを$u,v$に代入すると$$\displaystyle u=x+1-\frac{x^2+y^2+1}{x+y}=\frac{xy+x-y^2+y-1}{x+y},\quad v=y+1-\frac{x^2+y^2+1}{x+y}=\frac{-x^2+xy+x+y-1}{x+y}.$$逆に$x+y\ne0$ならこの$t,u,v$を定めることで$R$は両直線上にあり、上の内積も0となる。したがって条件は$x+y\ne0$であり、$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\vec a+v\vec c+\vec d$$を得る。

(2)$P$が正方形$DEFG$内または辺上にあるので$0\le x,y\le1$。交点が存在する条件から$x+y>0$であり、上で得た$t$について$$\displaystyle x^2+y^2+1-(x+y)=\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2+\frac12>0$$だから$0<t<1$。よって$0\le tx,ty\le t<1$であり、$R=(tx,ty,t)$の3座標はいずれも0以上1以下である。したがって$R$は立方体の内部または面上にある。

(3)$P,Q$がともに正方形内または辺上にあるためには$0\le x,y\le1$に加えて$0\le u,v\le1$が必要十分である。$T=x+y>0$、$S=x^2+y^2+1$とおくと$u=x+1-S/T,\ v=y+1-S/T$。また$$\displaystyle S-xT=1+y^2-xy\ge1+y^2-y=\left(y-\frac12\right)^2+\frac34>0, \quad S-yT=1+x^2-xy\ge1+x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0$$なので$u<1, v<1$は常に成り立つ。したがって残る条件は$$u\ge0\quad\text{すなわち}\quad (x+1)(x+y)-S=xy+x-y^2+y-1\ge0,$$ $$v\ge0\quad\text{すなわち}\quad (y+1)(x+y)-S=xy-x^2+x+y-1\ge0.$$分母$x+1,y+1$は正だから、求める領域は$$\displaystyle 0\le x,y\le1,\qquad x\ge\frac{y^2-y+1}{y+1},\qquad y\ge\frac{x^2-x+1}{x+1}.$$したがって、単位正方形内でこの2不等式をともに満たす部分を、境界を含めて図示すればよい。境界は$x=(y^2-y+1)/(y+1)$の$1/2\le y\le1$の弧（$(1/2,1/2)$から$(1/2,1)$まで）、$y=(x^2-x+1)/(x+1)$の$1/2\le x\le1$の弧（$(1/2,1/2)$から$(1,1/2)$まで）、および正方形の上辺・右辺である。これらに囲まれる領域を塗ればよい。