3福島県立医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

まず、$\displaystyle 0<a_1=\frac74<2$ である。$0<a_n<2$ ならば $0<2-a_n<2$ だから $0<a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}<\sqrt2<2$ である。したがって、すべての $n$ について $0<a_n<2$ である。

(1) 極限 $a$ が存在すると仮定する。漸化式の両辺で極限をとると、平方根関数の連続性より $a=\sqrt{2-a}$ である。また $a\geq0$ だから、両辺を平方して $$a^2+a-2=0,\qquad (a-1)(a+2)=0$$ を得る。よって $a=1$ である。

(2) $\displaystyle a_1=\frac74>1$ であり、$0<a_n<2$ のもとで $a_n>1$ なら $a_{n+1}<1$、$a_n<1$ なら $a_{n+1}>1$ となる。したがって、すべての自然数 $n$ について $a_{2n-1}>1>a_{2n}$ である。(1)の $a=1$ と合わせると $$a_{2n}<a<a_{2n-1}$$ となり、(i)が示された。

誤差評価のため、漸化式を用いて $$\displaystyle a_{k+1}-1 =\frac{a_{k+1}^2-1}{a_{k+1}+1} =\frac{1-a_k}{a_{k+1}+1}$$ を得る。特に $\displaystyle |a_{k+1}-1|=\frac{|a_k-1|}{a_{k+1}+1}$ である。

まず、すべての $n$ について $$\displaystyle \frac12\leq a_{2n}\leq1,\qquad 1\leq a_{2n-1}\leq\frac74$$ であることを示す。$\displaystyle a_1=\frac74$ であり、$\displaystyle 1\leq a_{2n-1}\leq\frac74$ ならば、平方根関数の増減から $$\displaystyle \frac12=\sqrt{2-\frac74}\leq a_{2n}=\sqrt{2-a_{2n-1}}\leq1.$$ さらに $$\displaystyle 1\leq a_{2n+1}=\sqrt{2-a_{2n}}\leq\sqrt{\frac32}<\frac74.$$ よって数学的帰納法により上の範囲が成り立つ。

(ii) $e_{2n}=1-a_{2n}$ とおく。$x=a_{2n},\ y=a_{2n+1},\ z=a_{2n+2}$ とすると、上の範囲と漸化式から $$\displaystyle \frac12\leq x\leq1,\quad 1\leq y\leq\sqrt{\frac32}<\frac32,\quad z=\sqrt{2-y},\quad \frac12<z\leq1,\quad y=2-z^2.$$ したがって $$(y+1)(z+1)-4=(3-z^2)(z+1)-4=(1-z)(z^2+2z-1)\geq0,$$ ここで $z\leq1$ かつ $\displaystyle z>\frac12$ より $z^2+2z-1>0$ を用いた。誤差についての等式を2回用いると $$\displaystyle e_{2n+2}=\frac{e_{2n}}{(y+1)(z+1)}\leq\frac14e_{2n}.$$ また $\displaystyle e_2=1-a_2=1-\frac12=\frac12$ だから、これを繰り返して $$\displaystyle 1-a_{2n}=e_{2n}\leq\frac12\left(\frac14\right)^{n-1} =\frac{1}{2^{2n-1}}.$$ よって(ii)が示された。

(iii) $n=1$ のとき $\displaystyle a_1-1=\frac34\leq1$ である。$n\geq2$ のとき、誤差についての等式と $a_{2n-1}>1$ より $$\displaystyle a_{2n-1}-1 =\frac{1-a_{2n-2}}{a_{2n-1}+1} <\frac12(1-a_{2n-2}) \leq\frac12\cdot\frac{1}{2^{2n-3}} =\frac{1}{2^{2n-2}},$$ 最後の不等式には(ii)を $n-1$ に適用した。以上から、すべての自然数 $n$ について(iii)が成り立つ。