3徳島大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式に $n=1$ を代入して $$\displaystyle a_2=\frac{1+c-4}{3}=\frac{c-3}{3}.$$ さらに $n=2$ を代入すると $$\displaystyle a_3=\frac{a_2^2+2c-4}{6} =\frac{(c-3)^2+18c-36}{54} =\frac{c^2+12c-27}{54}.$$

(2) 条件を代入して整理すると $$\displaystyle 1+\frac{c^2+12c-27}{54}\leq \frac{2(c-3)}3 \quad\text{すなわち}\quad (c-9)(c-15)\leq0,$$ したがって $9\leq c\leq15$ である。よって $$\displaystyle a_3-3=\frac{(c-9)(c+21)}{54}\geq0,$$ ゆえに $a_3\geq3$。 $n\geq3$ で $a_n\geq3$ と仮定すると、$c\geq9$ より $$\displaystyle a_{n+1}-3=\frac{a_n^2+(c-9)n-4}{3n} \geq\frac{9-4}{3n}>0.$$ 数学的帰納法により $a_n\geq3$ は全ての $n\geq3$ で成り立つ。

(3) 等号条件は $$(c-9)(c-15)=0$$ となるので、$c=9$ または $c=15$。

$c=9$ のとき $a_3=3$、また $$\displaystyle a_4=\frac{3^2+9\cdot3-4}{9}=\frac{32}{9}.$$ $n\geq4$ で $3\leq a_n\leq4$ とすると $$\displaystyle a_{n+1}=3+\frac{a_n^2-4}{3n},\qquad 0\leq a_{n+1}-3\leq\frac{16-4}{3n}=\frac4n\leq1.$$ したがって $3\leq a_{n+1}\leq4$ であり、帰納法により $3\leq a_n\leq4$（$n\geq4$）。さらに $$\displaystyle 0\leq a_{n+1}-3\leq\frac4n\longrightarrow0$$ だから $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=3$。

$c=15$ のとき $a_3=7=3\cdot3-2$。$n\geq3$ で $a_n=3n-2$ なら $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(3n-2)^2+15n-4}{3n}=3(n+1)-2.$$ よって帰納法により $a_n=3n-2$（$n\geq3$）であり、$a_n\to+\infty$。