4京都府立医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

数列は $a_1=a$、$a_{n+1}=4a_n(1-a_n)$（$n=1,2,\ldots$）、ただし $0<a<1$ で定める。

(1) $\displaystyle a=\frac12$ のとき

$$\displaystyle a_1=\frac12,\qquad a_2=4\cdot\frac12\left(1-\frac12\right)=1,\qquad a_3=4\cdot1\cdot(1-1)=0.$$

一度 $a_n=0$ となれば漸化式から $a_{n+1}=0$ であり、その後もすべて $0$ である。従って

$$\displaystyle \boxed{ a_1=\frac12,\quad a_2=1,\quad a_n=0\ (n\ge3) }.$$

(2) すべての自然数 $n$ について $0\le a_n\le1$

数学的帰納法で示す。初項は仮定から $0<a_1<1$ である。

$0\le a_n\le1$ と仮定すると

$$a_{n+1}=4a_n(1-a_n)\ge0.$$

また

$$1-a_{n+1} =1-4a_n(1-a_n) =(2a_n-1)^2\ge0$$

だから $a_{n+1}\le1$。従って $0\le a_{n+1}\le1$ であり、帰納法によりすべての自然数 $n$ で

$$\boxed{0\le a_n\le1}$$

が成り立つ。

(3) $\displaystyle 0<a_k<\frac14$ のとき $a_{k+1}>3a_k$

仮定の範囲で差を計算すると

$$a_{k+1}-3a_k =4a_k(1-a_k)-3a_k =a_k(1-4a_k)>0,$$

なぜなら $a_k>0$ かつ $1-4a_k>0$ だからである。従って

$$\boxed{a_{k+1}>3a_k}.$$

(4) $\displaystyle a_m\ge\frac34$ となる自然数 $m$ が存在する

背理法で示す。どの自然数 $n$ に対しても $a_n<3/4$ であると仮定する。

まず、数列はこの仮定のもとで $0$ にならない。もし $a_j=0$ となる最初の項があれば、$a_1>0$ より $j\ge2$、かつ $a_{j-1}>0$ である。漸化式 $0=4a_{j-1}(1-a_{j-1})$ から $a_{j-1}=1$ となり、仮定 $a_n<3/4$ に反する。よって全項が正である。

次に、ある $n$ について $a_n\ge1/4$ なら、仮定と合わせて $1/4\le a_n<3/4$ であり、

$$\displaystyle a_{n+1}-\frac34 =4a_n(1-a_n)-\frac34 =4\left(a_n-\frac14\right)\left(\frac34-a_n\right)\ge0.$$

従って $a_{n+1}\ge3/4$ となって仮定に反する。ゆえにすべての $n$ で $0<a_n<1/4$。

このとき (3) より各段階で $a_{n+1}>3a_n$ だから、帰納的に $a_n>3^{n-1}a_1$（$n\ge2$）。$a_1>0$ なので、十分大きい自然数 $n$ を選べば $3^{n-1}a_1\ge1/4$ となる。すると $a_n>1/4$ となり、全項が $1/4$ 未満という結論に矛盾する。

従って仮定は誤りであり、

$$\displaystyle \boxed{\text{ある自然数 }m\text{ が存在して }a_m\ge\frac34}$$

となる。

(5) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$ なら、ある自然数 $N$ で $a_N=0$

背理法で示す。極限が $0$ でありながら $a_N=0$ となる自然数 $N$ が存在しないと仮定する。(2) より全項は非負なので、この仮定のもとで $a_n>0$ がすべての $n$ で成り立つ。

極限が $0$ だから、ある自然数 $n_0$ が存在し、すべての $n\ge n_0$ について $0<a_n<1/4$ となる。(3)を繰り返し用いると、任意の自然数 $k\ge1$ について

$$a_{n_0+k}>3^k a_{n_0}.$$

$a_{n_0}>0$ なので $k$ を十分大きくすれば $3^k a_{n_0}>1$ となり、$a_{n_0+k}>1$ を得る。しかし (2) より $a_{n_0+k}\le1$ であり、矛盾する。

従って $a_N=0$ となる自然数 $N$ が存在し、

$$\boxed{a_N=0\text{ となる自然数 }N\text{ が存在する}}.$$

使用解法・自己点検

- (2) は帰納法と $1-a_{n+1}=(2a_n-1)^2$ を用いて上下両方の不等式を証明。 - (3) は差を因数分解し、二つの正因子から厳密不等号を確認。 - (4) は「3/4以上の項がない」と仮定し、零項の可能性、$1/4\le a_n<3/4$ のとき次項が3/4以上になること、3倍増加の矛盾を順に確認。 - (5) は零項なしと仮定し、極限から得る最終的な区間条件に (3) を反復して (2) と矛盾させた。

全5小問の証明を記載し、判読不能・入力矛盾は認めない。