2京都府立医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

対象関数は $f(x)=xe^{-\sqrt{x}}$、定義域は $x\ge0$ である。$x=0$ で $f(0)=0$、また $x>0$ で $f(x)>0$。

(1) 増減・凹凸とグラフの概形

$x>0$ では積の微分と合成関数の微分により

$$\displaystyle f'(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(1-\frac{\sqrt{x}}2\right).$$

指数因子は正なので、導関数の符号は $1-\sqrt{x}/2$ の符号で決まる。従って $0<x<4$ で増加し、$x>4$ で減少する。端点 $x=0$ では右微分が

$$\displaystyle f'_+(0)=\lim\limits _{h\downarrow0}\frac{he^{-\sqrt h}-0}{h} =\lim\limits _{h\downarrow0}e^{-\sqrt h}=1$$

である。最大値は $x=4$ のとき $f(4)=4e^{-2}$。

さらに $x>0$ で

$$\displaystyle f''(x)=\frac{e^{-\sqrt{x}}(\sqrt{x}-3)}{4\sqrt{x}}.$$

よって $0<x<9$ で $f''(x)<0$、$x>9$ で $f''(x)>0$。したがって $x=9$ で凹凸が変わり、変曲点は $(9,9e^{-3})$ である。$f''(0)$ はこの式の定義域外だが、右側では $x=9$ まで上に凸（$f''<0$）となる。

また $x\to\infty$ で $f(x)\to0$。実際、$t=\sqrt{x}$ とおき、$t\ge0$ で $e^{t/4}\ge1+t/4$ を使うと

$$\displaystyle 0\le xe^{-\sqrt{x}}=\frac{t^2}{e^t} \le\frac{t^2}{(1+t/4)^4}\longrightarrow0.$$

グラフは原点 $(0,0)$ から右微分 $1$ の接線方向に出発し、$x=4$ で最大となった後、$x=9$ で凹凸を変えながら正の値を保って $x$ 軸へ近づく。増減・凹凸と主要点を示すと概形は次のとおり（図は模式図）。

$$\begin{array}{c|cccccc} x&0&&4&&9&\longrightarrow\infty\\ \hline f'&1&+&0&-&-&\\ f''&&-&-&-&0&+\\ f(x)&0&\nearrow&4e^{-2}&\searrow&9e^{-3}&\searrow0 \end{array}$$

(2) 囲まれた部分の面積

交点は

$$\displaystyle xe^{-\sqrt{x}}=\frac{x}{e^2}.$$

$x=0$ は交点である。$x>0$ なら両辺を $x$ で割り、指数関数の単調性から

$$e^{-\sqrt{x}}=e^{-2} \text{すなわち} \sqrt{x}=2 \text{すなわち} x=4.$$

従って交点の $x$ 座標は $0,4$ のみである。また $0<x<4$ では

$$\displaystyle \frac{f(x)}{x/e^2}=e^{2-\sqrt{x}}>1$$

なので曲線が直線より上にある。囲まれた部分は $0\le x\le4$ に限られる。

面積を $S$ とすると

$$\displaystyle S=\int_0^4\left(xe^{-\sqrt{x}}-\frac{x}{e^2}\right)\,dx.$$

第1項で $t=\sqrt{x}$ と置くと $x=t^2$、$dx=2t\,dt$ だから

$$\displaystyle \int_0^4 xe^{-\sqrt{x}}\,dx =2\int_0^2 t^3e^{-t}\,dt.$$

$-e^{-t}(t^3+3t^2+6t+6)$ は $t^3e^{-t}$ の原始関数である。ゆえに

$$\displaystyle 2\int_0^2 t^3e^{-t}\,dt =2\left(6-\frac{38}{e^2}\right) =12-\frac{76}{e^2}.$$

直線の下の面積は

$$\displaystyle \int_0^4\frac{x}{e^2}\,dx=\frac8{e^2}.$$

従って求める面積は

$$\displaystyle \boxed{S=12-\frac{84}{e^2}}.$$

使用解法・自己点検

- $x>0$ で一階・二階導関数を求め、その符号で増減・凹凸を判定。端点 $x=0$ の右微分は定義から別途確認。 - グラフの最大点、変曲点、原点での接線方向、無限遠での極限を確認。 - 交点を $x=0$ と $x>0$ に分け、曲線と直線の上下関係を比で決定して積分区間を特定。 - 置換積分と部分積分で定積分を計算。

全小問の定義域、場合分け、交点、面積計算を記載し、入力矛盾・判読不能は認めない。