4鹿児島大学 2018年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-4c03709b6358-Q4 結論

(1) $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\frac{\log(x+1)}{x+1}=0$ / (2) 増加区間 $0\le x<e-1$、減少区間 $x>e-1$、最大値 $1/e$（$x=e-1$）、最小値 $0$（$x=0$）、変曲点 $\displaystyle \left(e^{3/2}-1,\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$。 / (3) $a_n=e^{\sqrt{2}n}-1$ / (4) $e^{\sqrt{2}}$

(1) $t=\log(x+1)$ とおくと、$x\ge0$ より $t\ge0$、また $e^t=x+1$ である。与えられた不等式から $t^2<2e^t$ なので、$t\ge0$ に注意して両辺を $e^{2t}$ で割ると $$\displaystyle 0\le \frac{\log(x+1)}{x+1}=\frac{t}{e^t}<\sqrt{\frac{2}{e^t}}=\sqrt{\frac{2}{x+1}}.$$$x\to\infty$ のとき右辺は $0$ に収束するから、はさみうちの原理により求める極限は $0$ である。

(2) $u=x+1$ とおくと、$u\ge1$ であり、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2}.$$分母は正で、$\log(x+1)=1$ となるのは $x=e-1$ である。したがって $0\le x<e-1$ で増加し、$x>e-1$ で減少する。$f(e-1)=1/e$ だから、ここで最大値 $1/e$ をとる。また $f(0)=0$、$x>0$ では $f(x)>0$ であるから、定義域全体での最小値は端点 $x=0$ における $0$ である（内部の極値は $x=e-1$ における極大値だけである）。

さらに、 $$\displaystyle f''(x)=\frac{2\log(x+1)-3}{(x+1)^3}.$$よって $0\le x<e^{3/2}-1$ で $f''(x)<0$、$x>e^{3/2}-1$ で $f''(x)>0$ となるので、$x=e^{3/2}-1$ で凹凸が変わる。そのときの関数値は $\displaystyle f(e^{3/2}-1)=\frac{3}{2e^{3/2}}$ であり、変曲点は $\displaystyle \left(e^{3/2}-1,\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ である。以上より、グラフは原点から増加して $(e-1,1/e)$ で極大となり、その後減少する。変曲点までは上に凸、変曲点以後は下に凸であり、$x\to\infty$ で $y=0$ に上から近づく。

(3) $x>0$ では $f(x)>0$ なので、求める面積は $$\displaystyle \int_0^{a_n}\frac{\log(x+1)}{x+1}\,dx=\left[\frac12\{\log(x+1)\}^2\right]_0^{a_n}=\frac12\{\log(a_n+1)\}^2.$$これが $n^2$ に等しい。$a_n>0$、$n\ge1$ より $\log(a_n+1)>0$ だから、$\log(a_n+1)=\sqrt{2}n$ である。したがって $a_n=e^{\sqrt{2}n}-1$ を得る。

(4) (3)の結果より、 $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^{\sqrt{2}(n+1)}-1}{e^{\sqrt{2}n}-1}=e^{\sqrt{2}}+\frac{e^{\sqrt{2}}-1}{e^{\sqrt{2}n}-1}.$$$n\to\infty$ で分母 $e^{\sqrt{2}n}-1$ は無限大に発散するので、$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{\sqrt{2}}$ である。