3鹿児島大学 2018年 数学 第3問解答・解説

次の $3\text{--}1,\ 3\text{--}2,\ 3\text{--}3$ から1題を選択して解答せよ。解答用紙の所定の欄に、解答する問題の番号を記入すること。

$3\text{--}1$ 数列 $\{a_n\}$ が自然数 $n=1,2,\ldots$ に対して関係式 $$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\quad ( *)$$ を満たすとき、「数列 $\{a_n\}$ は漸化式(*)を満たす」という。このとき、次の各問いに答えよ。

(1) 初項と公比がともに $r\ (\neq0)$ である等比数列で漸化式(*)を満たす数列 $\{b_n\},\{c_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。ただし、$b_1>c_1$ とする。

(2) 二つの数列 $\{d_n\},\{e_n\}$ がともに漸化式(*)を満たすとき、二つの実数 $k,l$ に対して $f_n=kd_n+le_n$ で定められる数列 $\{f_n\}$ も漸化式(*)を満たすことを示せ。

(3) (1)で得られた数列 $\{b_n\},\{c_n\}$ と二つの実数 $k,l$ に対して、$a_n=kb_n+lc_n$ とおくとき、$a_1=21,\ a_2=57$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$3\text{--}2$ 三角形 $ABC$ とその内部に点 $O$ があり、正の実数 $k,l$ に対して $$\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}+l\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$ を満たしていると仮定する。さらに直線 $OA$ と辺 $BC$、直線 $OB$ と辺 $CA$、直線 $OC$ と辺 $AB$ の交点をそれぞれ $D,E,F$ とする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}$ とおくとき、$x$ を $k,l$ を用いて表せ。さらに $\displaystyle \frac{OD}{AD}$ を $k,l$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OE}=y\overrightarrow{OB}$ とおくとき、$y$ を $k,l$ を用いて表せ。さらに $\displaystyle \frac{OE}{BE}$ を $k,l$ を用いて表せ。

(3) $\displaystyle \frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$ を示せ。

$3\text{--}3$ 1個のサイコロを投げ、1の目が出るまでこれを繰り返し行う。ただし、このサイコロ投げを繰り返す最大の回数は $N$ 回とし（$N\geq2$）、$N$ 回まで繰り返して1の目が出なければ、終了する。このサイコロ投げにおける繰り返し回数を $X$ とする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1) 確率 $P(X=k)$ を、$k<N$ と $k=N$ の場合に分けて求めよ。

(2) $X$ の期待値を求めよ。