II順天堂大学 2018年 数学 第II問解答・解説

Aの持ち点を$i$、両チームの持ち点の和を$N$とする。1ゲームごとに持ち点の和は一定であり、$i=0$でAの敗北、$i=N$でAの優勝として終了する。

(1) 各ゲームでAが勝つ確率を$1/3$、負ける確率を$2/3$とする。2ゲームでAが優勝するには、初期点$(2,2)$から2連勝する必要があるから、その確率は$(1/3)^2=1/9$。 4ゲーム目に初めてAが優勝するには、4ゲーム中3勝1敗で、2ゲーム目までに勝ち点が4に達してはならない。条件を満たす勝敗列は「負・勝・勝・勝」と「勝・負・勝・勝」の2通りである。それぞれの確率は$(2/3)(1/3)^3=2/81$なので、求める確率は$4/81$。 最終的なAの優勝確率を$u_i$とすると、境界値は$u_0=0,\ u_4=1$、また $$\displaystyle u_i=\frac13u_{i+1}+\frac23u_{i-1}\quad(1\le i\le3).$$ この式を整理すると$u_{i+1}-u_i=2(u_i-u_{i-1})$。従って隣り合う値の差は初項の2倍ずつとなり、 $$1=u_4-u_0=(u_1-u_0)(1+2+4+8)$$ から$u_1-u_0=1/15$、$u_2-u_1=2/15$。よって初期点2のとき$u_2=3/15=1/5$。

(2) 同じ勝率で持ち点の和が4のままなので、上の差の関係より $$\displaystyle u_1=\frac1{15},\quad u_2=\frac3{15},\quad u_3=\frac7{15}.$$ 従って初期点が$(3,1)$ならAの優勝確率は$7/15$、初期点が$(1,3)$なら$1/15$。

(3) 持ち点の和は6である。3ゲーム終了時にAの点が4となるには2勝1敗が必要で、該当する勝敗列は3通りある。途中で終了する列はないので確率は $$\displaystyle 3\left(\frac13\right)^2\frac23=\frac29.$$ Aの点が2となるには1勝2敗が必要で、同様に $$\displaystyle 3\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^2=\frac49.$$ 最終勝利確率は$u_0=0,u_6=1$、$\displaystyle u_i=\frac13u_{i+1}+\frac23u_{i-1}$を満たす。隣り合う差を$d_i=u_i-u_{i-1}$とすれば$d_{i+1}=2d_i$。したがって $$\displaystyle 1=u_6-u_0=d_1(1+2+4+8+16+32)=63d_1, \quad u_3=d_1(1+2+4)=\frac7{63}=\frac19.$$

(4) ここでは各ゲームの勝率は$1/2$、合計点は5で、初期状態$(3,2)$のA優勝確率を$p$とする。1ゲーム目にAが勝つと状態は$(4,1)$になる。その次にAが勝てば直ちに優勝し、Bが勝てば$(3,2)$に戻るので、状態$(4,1)$からのA優勝確率は$\displaystyle \frac12+\frac12p$。よって最初にAが勝ち、かつ最終的にAが優勝する確率は $$\displaystyle \frac12\left(\frac12+\frac12p\right)=\frac14p+\frac14.$$ 1ゲーム目にBが勝つ確率は$1/2$。そのとき状態は$(2,3)$である。チーム名を入れ替えた状態$(3,2)$でBが優勝する確率が$p$なので、状態$(2,3)$でAが優勝する確率は$1-p$。従ってこの枝でAが優勝する確率は$\displaystyle \frac12(1-p)$。二つの枝を足して $$\displaystyle p=\left(\frac14p+\frac14\right)+\frac12(1-p),$$ ゆえに$\displaystyle \frac54p=\frac34$、$\displaystyle p=\frac35$。