III順天堂大学 2018年 数学 第III問解答・解説

(1) $A$を原点とみなし、$B,C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec b,\vec c$とする。辺$BC$の中点を$M$とすると、$\overrightarrow{AM}=(\vec b+\vec c)/2$。重心$G$は中線$AM$上にあるので、ある実数$t$に対し$\overrightarrow{AG}=t(\vec b+\vec c)$と書ける。また、辺$AC$の中点を$N$とすれば、$G$は中線$BN$上にもあるから、ある実数$s$に対し $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\vec b+s\left(\frac{\vec c}{2}-\vec b\right) =(1-s)\vec b+\frac{s}{2}\vec c.$$ 三角形は退化していないので$\vec b,\vec c$は一次独立であり、係数を比べて$t=1-s=s/2$。従って$s=2/3,\ t=1/3$、ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{\vec b+\vec c}{3}.$$

(2) $D$は$AB$の中点だから $$\displaystyle \overrightarrow{DA}=-\frac{\vec b}{2},\qquad \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD} =\frac{\vec b+\vec c}{3}-\frac{\vec b}{2} =\frac{2\vec c-\vec b}{6}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DG} =-\frac{\vec b}{2}\cdot\frac{2\vec c-\vec b}{6} =\frac{|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec c}{12}.$$ $\vec b$と$\vec c$のなす角が$\theta$なので$\vec b\cdot\vec c=|\vec b||\vec c|\cos\theta$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DG} =\frac{|\vec b|^2-2|\vec b||\vec c|\cos\theta}{12}.$$

(3) 重心と外心が一致する点を$O$とする。$O$を原点とした頂点の位置ベクトルを$\vec a,\vec b,\vec c$、外接円の半径を$R$とすれば、重心であることから$\vec a+\vec b+\vec c=\vec0$、外心であることから$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R$。$\vec c=-\vec a-\vec b$を用いると $$R^2=|\vec c|^2=|\vec a+\vec b|^2 =2R^2+2\vec a\cdot\vec b$$ なので$\vec a\cdot\vec b=-R^2/2$。同様に、$\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=-R^2/2$。従って $$|AB|^2=|\vec b-\vec a|^2=2R^2-2\vec a\cdot\vec b=3R^2,$$ 同じ計算で$|BC|^2=|CA|^2=3R^2$となり、三辺が等しい。よって三角形は正三角形である。 逆に、三角形が正三角形なら、各頂点から対辺の中点へ引いた中線はその対辺の垂直二等分線でもある。中線の交点である重心は、垂直二等分線の交点である外心と同じ点になる。したがって必要十分条件は正三角形である。