III関西医科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

関西医科大学 2023 大問Ⅲ（A）

問題

一辺 $2$ の正三角形の内接円の接点を $A,B,C$、円周上の点を $P$、内接円の中心を $O$ とする。

解答

(1)

正三角形の高さは、底辺の中点で直角三角形を作ると $$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$$ であるから、面積は $\sqrt3$。内接円の半径を $R=OA$ とする。三角形を各辺を底辺とする3つの三角形に分けると、それぞれの高さは $R$ なので、全体の面積は $$\displaystyle \frac12 R(2+2+2)=3R.$$ よって $3R=\sqrt3$ であり、 $$\displaystyle \boxed{OA=R=\frac{\sqrt3}{3}}.$$

(2)〜(4)の準備

正三角形の対称性から、$A,B,C$ は内接円上で等間隔に並び、中心角はそれぞれ $120^\circ$ である。座標の原点を $O$、$x$ 軸の正の向きを $OA$ とし、$R=\sqrt3/3$ とおくと、向きを適宜選んで $$\displaystyle A=(R,0),\quad B=\left(-\frac R2,\frac{\sqrt3R}{2}\right),\quad C=\left(-\frac R2,-\frac{\sqrt3R}{2}\right).$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol 0,\qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA} =R^2\cos120^\circ=-\frac{R^2}{2}.$$ また $|\overrightarrow{OP}|=R$ である。

(2)

$\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol b=\overrightarrow{OB}$、$\boldsymbol c=\overrightarrow{OC}$、$\boldsymbol p=\overrightarrow{OP}$ とする。点を結ぶベクトルは $\overrightarrow{PA}=\boldsymbol a-\boldsymbol p$ などであるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} &\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}\\ &=(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+ \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c+ \boldsymbol c\cdot\boldsymbol a) -2\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c) +3|\boldsymbol p|^2\\ &=-\frac{3R^2}{2}+3R^2 =\frac{3R^2}{2} =\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$

(3)

それぞれの平方を展開して和をとると $$\begin{aligned} |\overrightarrow{PA}|^2+|\overrightarrow{PB}|^2+|\overrightarrow{PC}|^2 &=3R^2+3R^2 -2\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c)\\ &=6R^2 =\boxed{2}. \end{aligned}$$

(4)

$\boldsymbol a+\boldsymbol b=-\boldsymbol c$ および $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-R^2/2$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &=(\boldsymbol a-\boldsymbol p)\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol p)\\ &=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+|\boldsymbol p|^2\\ &=\frac{R^2}{2}+\boldsymbol p\cdot\boldsymbol c. \end{aligned}$$ $\boldsymbol p$ と $\boldsymbol c$ のなす角を $\theta$ とすれば、両者の長さは $R$ なので $$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol c=R^2\cos\theta,\qquad -1\le\cos\theta\le1.$$ したがって $$\displaystyle -\frac{R^2}{2}\le \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} \le\frac{3R^2}{2}.$$ 円周上で $P=C$ のとき上端、$P$ が $C$ の対蹠点のとき下端をとる。$R^2=1/3$ より $$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }\frac12,\qquad \text{最小値 }-\frac16}.$$

最終答案

- (1) $\displaystyle OA=\dfrac{\sqrt3}{3}$ - (2) $\displaystyle \dfrac12$ - (3) $2$ - (4) 最大値 $\displaystyle \dfrac12$、最小値 $\displaystyle -\dfrac16$

使用した解法

面積から内接円の半径を求めた。接点の位置を円の中心を原点とする座標・位置ベクトルで表し、内積と長さの二乗を展開した。最大・最小は内積の余弦表示の範囲と、その等号が実現する点で決定した。