II関西医科大学 2023年 数学 第II問解答・解説

関西医科大学 2023 大問Ⅱ（A）

問題の設定

初項 $a_1=2$、初項 $b_1=0$ の等差数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ があり、自然数 $k$ について $a_{k+1}=b_{k+1}$、$a_{2k+1}=0$。また $$\displaystyle c_1=1,\qquad c_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}c_n \quad(n\ge 1)$$ とする。

解答

(1)

$\{a_n\}$ の公差を $d$ とすると、等差数列の一般項より $$a_n=2+(n-1)d.$$ 条件 $a_{2k+1}=0$ を用いて $$\displaystyle 0=2+2kd,\qquad d=-\frac1k.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a_2=2-\frac1k},\qquad \boxed{a_{k+1}=2+k\left(-\frac1k\right)=1}.$$

(2)

$\{b_n\}$ の公差を $e$ とすると $b_n=(n-1)e$。条件 $a_{k+1}=b_{k+1}$ と (1) の結果から $$\displaystyle ke=b_{k+1}=a_{k+1}=1, \qquad e=\frac1k.$$ よって $$\displaystyle \boxed{b_2=\frac1k},\qquad \boxed{b_{2k+1}=2ke=2}.$$

(3)

$j\ge1$ に対して $$\displaystyle a_{j+1}=2-\frac jk=\frac{2k-j}{k}, \qquad b_{j+1}=\frac jk,$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{a_{j+1}}{b_{j+1}}=\frac{2k-j}{j}.$$ $k$ は自然数なので $b_{j+1}=j/k\ne0$ であり、漸化式の商は常に定義される。したがって、漸化式を順に用いると $$\displaystyle c_n=\prod\limits _{j=1}^{n-1}\frac{2k-j}{j}.$$ 特に $1\le n\le 2k$ では $$\displaystyle c_n =\frac{(2k-1)(2k-2)\cdots(2k-n+1)}{(n-1)!} =\frac{(2k-1)!}{(2k-n)!(n-1)!} =\binom{2k-1}{n-1}.$$ ここで $n=1$ の場合の積は空積として $1$ とする。 よって $$\displaystyle \boxed{c_k=\binom{2k-1}{k-1}}.$$ また $$\displaystyle c_{2k}=\binom{2k-1}{2k-1}=\boxed{1}.$$

(4)

$1\le n\le2k$ で $\displaystyle c_n=\binom{2k-1}{n-1}$。$N=2k-1$、$m=n-1$ とおくと、隣り合う二項係数の比は $$\displaystyle \frac{\binom{N}{m+1}}{\binom{N}{m}} =\frac{N-m}{m+1} =\frac{2k-1-m}{m+1}.$$ これは $m<k-1$ で $1$ より大きく、$m=k-1$ で $1$、$m>k-1$ で $1$ より小さい。よって最大となるのは $m=k-1,k$、すなわち $n=k,k+1$ である。さらに $c_{2k+1}=0$（積に $j=2k$ の因子が入り）、以後も漸化式から $c_n=0$ なので、これらが全体での最大位置である。

$$\boxed{n=k\ \text{または}\ n=k+1}$$

(5)

(3) の式を使い、$m=r-1$ と置き換えると $$\displaystyle \sum\limits _{r=1}^{2k}c_r =\sum\limits _{m=0}^{2k-1}\binom{2k-1}{m} =(1+1)^{2k-1} =\boxed{2^{2k-1}}.$$ ここでは二項定理を用いた。

最終答案

- (1) $\displaystyle a_2=2-\dfrac1k,\quad a_{k+1}=1$ - (2) $\displaystyle b_2=\dfrac1k,\quad b_{2k+1}=2$ - (3) $\displaystyle c_k=\binom{2k-1}{k-1},\quad c_{2k}=1$ - (4) $n=k$ または $n=k+1$ - (5) $\displaystyle\sum\limits _{r=1}^{2k}c_r=2^{2k-1}$

使用した解法

等差数列の一般項から公差を決定し、定義された漸化式を積の形にして二項係数と比較した。最大値は隣り合う二項係数の比で判定し、和は二項定理で求めた。