II日本医科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

$$\displaystyle \text{赤球がAから出る確率は }(1/6)(x/n)\text{、赤球がBから出る確率は }(5/6)(y/n)\text{ なので、条件付き確率は}\;p=\frac{x/6}{x/6+5y/6}=\frac{x}{x+5y}.\text{ 分母は正である。}\quad \frac16\leq p\leq\frac27\text{ を }x,y\text{ で整理すると}\;x\geq y,\quad x\leq2y\text{。従って }y\text{ を固定すると }x=y,y+1,\ldots,\min(2y,n)\text{ である。}\quad n=2q\text{ のとき、}1\leq y\leq q\text{ の寄与は }y+1\text{ 個、}q+1\leq y\leq2q\text{ の寄与は }2q-y+1\text{ 個だから、}\;N(2q)=\sum\limits _{y=1}^q(y+1)+\sum\limits _{y=q+1}^{2q}(2q-y+1)=q(q+2).\quad n=2q+1\text{ のとき、前半 }1\leq y\leq q\text{ は同様で、後半 }q+1\leq y\leq2q+1\text{ の個数は }2q+2-y\text{ なので、}\;N(2q+1)=\sum\limits _{y=1}^q(y+1)+\sum\limits _{y=q+1}^{2q+1}(2q+2-y)=q^2+3q+1.\quad n=87\text{ では }q=43\text{ で }N(87)=43^2+3\cdot43+1=1979<2022\text{。一方 }n=88\text{ では }q=44\text{ で }N(88)=44(44+2)=2024\geq2022\text{。}N(n)\text{ は }n\text{ とともに増加するため、条件を満たす最大の }n\text{ は }87\text{。}\quad \text{単調性も偶奇公式から直接確認できる。}q\geq0\text{ に対して}\;N(2q+1)-N(2q)=q+1>0,\quad N(2q+2)-N(2q+1)=q+2>0.\text{ よって }N(n)\text{ は整数 }n\geq1\text{ でnが1増えるたびに必ず増加する。}$$