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日本医科大学／2022年度／前期

日本医科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面いろいろな式図形と方程式三角関数

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1問題

日本医科大学2022年度第I問

以下の文中のア～サに適する1以上の整数を解答欄に記入せよ。なお，分数形で解答する場合は，既約分数で答えること。また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる1以上の整数が最小となる形で答えよ。

ii を虚数単位とする。OO を原点とする複素数平面上において，中心が OO，半径が2の円を CC とする。CC 上の点 P(z)P(z) に対して，複素数平面上の点 Q(w)Q(w) を次のように定める。 w=(4+2i)z+4−4iz+2−2i\displaystyle w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i} 点 P(z)P(z) が CC 上を動くとき，点 Q(w)Q(w) は複素数 α=−アi\alpha=-\boxed{\text{ア}}i で表される点 A(α)A(\alpha) を中心とし，半径 r=イr=\boxed{\text{イ}} の円上を動く。このとき，z=wz=w を満たす CC 上の点 zz がただ1つ存在し，その点を B(β)B(\beta) とおく。z≠βz\neq\beta を満たす点 P(z)P(z) に対して，等式 z−wz−β=z−ウ−エiz+オ−カi\displaystyle \frac{z-w}{z-\beta}=\frac{z-\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}i}{z+\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}i} が成り立つことを用いると，点 P(z)P(z) が z≠βz\neq\beta かつ 5 PQ≦BP\sqrt{5}\,\mathrm{PQ}\leq\mathrm{BP} を満たしながら CC 上を動くとき，BP\mathrm{BP} は最大値 キク\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}} と最小値 ケコサ\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}} をとることがわかる。ただし，複素数平面上の2点 X,YX,Y に対して，XY\mathrm{XY} は2点 X,YX,Y 間の距離を表す。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

逆変換で像の円を求め、不動点方程式と距離比を因数分解する。円周上の角を用いて条件を整理し、距離の端点を評価する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • α=−2i,r=4,β=2i,z−wz−β=z−2−2iz+2−2i,max⁡BP=22,min⁡BP=22613.\displaystyle \alpha=-2i,\quad r=4,\quad \beta=2i,\quad \frac{z-w}{z-\beta}=\frac{z-2-2i}{z+2-2i},\quad \max BP=2\sqrt2,\quad \min BP=\frac{2\sqrt{26}}{13}.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

与式を z について解くと  z=2(1−i)(2−w)w−(4+2i)。∣z∣=2 より ∣w−(4+2i)∣2=2∣w−2∣2。w=u+iv として整理すれば u2+(v+2)2=16 だから、像の中心は −2i、半径は 4 である。z=w は  z2−(2+4i)z−4+4i=0=(z−2i)(z−2−2i) を満たす。半径2の円上にある解は β=2i のみ。さらに  z−w=z2−(2+4i)z−4+4iz+2−2i なので、z≠β のとき  z−wz−β=z−2−2iz+2−2i.z=2ieiθ と置く。すると  BP2=∣z−2i∣2=8(1−cos⁡θ),∣z−wz−β∣2=3+2sin⁡θ−2cos⁡θ3−2sin⁡θ−2cos⁡θ. 条件 5 PQ≦BP はこの比の2乗が 1/5 以下ということだから、整理して 3sin⁡θ−2cos⁡θ≦−3。等号境界と sin⁡2θ+cos⁡2θ=1 を連立すると (sin⁡θ,cos⁡θ)=(−1,0),(−5/13,12/13)。許される弧では 0≦cos⁡θ≦12/13 である。ゆえに BP2=8(1−cos⁡θ) は 8/13 から 8 まで動き、  min⁡BP=8/13=226/13,max⁡BP=22。\displaystyle \text{与式を }z\text{ について解くと}\;z=\frac{2(1-i)(2-w)}{w-(4+2i)}\text{。}|z|=2\text{ より }|w-(4+2i)|^2=2|w-2|^2\text{。}w=u+iv\text{ として整理すれば }u^2+(v+2)^2=16\text{ だから、像の中心は }-2i\text{、半径は }4\text{ である。}\quad z=w\text{ は}\;z^2-(2+4i)z-4+4i=0=(z-2i)(z-2-2i)\text{ を満たす。半径2の円上にある解は }\beta=2i\text{ のみ。さらに}\;z-w=\frac{z^2-(2+4i)z-4+4i}{z+2-2i}\text{ なので、}z\ne\beta\text{ のとき}\;\frac{z-w}{z-\beta}=\frac{z-2-2i}{z+2-2i}.\quad z=2ie^{i\theta}\text{ と置く。すると}\;BP^2=|z-2i|^2=8(1-\cos\theta),\quad \left|\frac{z-w}{z-\beta}\right|^2=\frac{3+2\sin\theta-2\cos\theta}{3-2\sin\theta-2\cos\theta}.\text{ 条件 }\sqrt5\,PQ\leq BP\text{ はこの比の2乗が }1/5\text{ 以下ということだから、整理して }3\sin\theta-2\cos\theta\leq-3\text{。等号境界と }\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\text{ を連立すると }(\sin\theta,\cos\theta)=(-1,0),(-5/13,12/13)\text{。許される弧では }0\leq\cos\theta\leq12/13\text{ である。ゆえに }BP^2=8(1-\cos\theta)\text{ は }8/13\text{ から }8\text{ まで動き、}\;\min BP=\sqrt{8/13}=2\sqrt{26}/13,\quad\max BP=2\sqrt2\text{。}

この問題で使う考え方

  • 複素数平面
  • 複素数の四則演算
  • 円の方程式
  • 座標による距離
  • 複素数の極形式
  • 三角関数の相互関係

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