1北里大学 2019年 数学 第1問解答・解説

A答案 Q1 — 北里大学 2019

(1) 定積分

置換 $u=1+3x^2$ を使うと $$\displaystyle \int_0^1\frac{x}{1+3x^2}\,dx =\frac16\int_1^4\frac{du}{u} =\frac16\log4 =\boxed{\frac{\log2}{3}}.$$ また $$\displaystyle x=\frac{\tan\theta}{\sqrt3},\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$$ とおくと $$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt3}\sec^2\theta\,d\theta,\quad 1+3x^2=\sec^2\theta$$ より $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+3x^2} =\frac{1}{\sqrt3}\int_0^{\pi/3}d\theta =\boxed{\frac{\pi}{3\sqrt3}} \quad\left(=\frac{\pi\sqrt3}{9}\right).$$

(2) 方程式の解の個数

$t=\sin x$ とおくと $0\leq t\leq1$ であり、 $$16\sin^3x-24\sin^2x+9\sin x =t(4t-3)^2=:\phi(t).$$ 導関数は $$\phi'(t)=3(4t-3)(4t-1).$$ 従って $\phi$ は $\displaystyle 0\le t\le\frac14$ で増加し、$\displaystyle \frac14\le t\le\frac34$ で減少し、$\displaystyle \frac34\le t\le1$ で増加する。値は $$\displaystyle \phi(0)=0,\quad \phi\!\left(\frac14\right)=1,\quad \phi\!\left(\frac34\right)=0,\quad \phi(1)=1.$$ $0<k<1$ では各単調部分の内部に $\phi(t)=k$ の解が1つずつあり、いずれも $0<t<1$。その各 $t$ に対して $\sin x=t$ は区間 $0\leq x\leq\pi$ に異なる2解をもつ。従って解は $3\cdot2=\boxed{6}$ 個。

値域外の $k$ では解がない。$k=0$ では $\displaystyle t=0,\frac34$ から計4解。$k=1$ では $\displaystyle t=\frac14,1$ となり、前者から2解、後者から $\displaystyle x=\frac\pi2$ の1解が得られ計3解。よって $\text{エ}=1$。最大解は $$\displaystyle \alpha=\pi-\arcsin\frac14,\qquad \cos\alpha=-\sqrt{1-\frac1{16}}=\boxed{-\frac{\sqrt{15}}4}.$$

(3) 極座標と接線条件

極座標から $$A=(1,0),\qquad B=(0,\sqrt3).$$ 線分 $AB$ の方向ベクトルは $(-1,\sqrt3)$。これに垂直で原点を通る直線の方向ベクトルは $(\sqrt3,1)$ なので $$\displaystyle l:\quad \tan\theta=\frac1{\sqrt3}, \quad\text{すなわち}\quad \theta=\frac\pi6\pmod\pi.$$

直線 $AB$ の方程式は $\sqrt3x+y=\sqrt3$。極方程式 $r=a\cos\theta$ は $$\displaystyle x^2+y^2=ax \quad\text{すなわち}\quad \left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\left(\frac a2\right)^2$$ であり、中心 $(a/2,0)$、半径 $a/2$ の円である。接する条件は、中心から直線までの距離が半径に等しいこと： $$\displaystyle \frac{\left|\sqrt3\frac a2-\sqrt3\right|}{2}=\frac a2 \quad\text{すなわち}\quad \sqrt3|a-2|=2a.$$ $a\geq2$ では左辺の符号を外した方程式が正の解をもたない。$0<a<2$ では $$\displaystyle \sqrt3(2-a)=2a \quad\text{より}\quad \boxed{a=\frac{2\sqrt3}{2+\sqrt3}=4\sqrt3-6}.$$

(4) 複素数

$$\displaystyle z^6+z^5+\cdots+z+1=\frac{z^7-1}{z-1}.$$ $z=1$ は元の式を満たさないので、$z^7=1,\ z\ne1$。従って $$\boxed{z^7=1}.$$

積は $$\displaystyle (1\cdot2\cdots6)\prod\limits _{j=1}^6(1+z^j).$$ $z^7=1$ の7根を用いた因数分解 $\displaystyle X^7-1=\prod\limits _{j=0}^6(X-z^j)$ に $X=-1$ を代入すると $$\displaystyle -2=\prod\limits _{j=0}^6(-1-z^j)=-\prod\limits _{j=0}^6(1+z^j),$$ 従って $\displaystyle \prod\limits _{j=0}^6(1+z^j)=2$。$j=0$ の因子は2だから $\displaystyle \prod\limits _{j=1}^6(1+z^j)=1$。よって求める積は $$\boxed{720}.$$

$z=e^{i\theta}$ とすると、指定された範囲で許される偏角は $$\displaystyle \theta=-\frac{2\pi}{7},\ \frac{2\pi}{7},\ \frac{4\pi}{7},\ \frac{6\pi}{7}.$$ また $$|2-z+\bar z|=|2-2i\sin\theta| =2\sqrt{1+\sin^2\theta}.$$ 候補の中で $\sin^2\theta$ が最大なのは $\displaystyle \theta=\frac{4\pi}{7}$（$\displaystyle \sin\frac{4\pi}{7}=\sin\frac{3\pi}{7}$）である。従って $$\displaystyle \boxed{\arg z=\frac{4\pi}{7}}.$$

最終答案

(1) $\displaystyle \frac{\log2}{3},\ \frac{\pi}{3\sqrt3}$。 (2) $\displaystyle \text{ウ}=6,\ \text{エ}=1,\ \text{オ}=-\frac{\sqrt{15}}4$。 (3) $\displaystyle \text{カ}:\tan\theta=\frac1{\sqrt3}$（$\displaystyle \theta=\frac\pi6\pmod\pi$）、$\text{キ}=4\sqrt3-6$。 (4) $\displaystyle \text{ク}=1,\ \text{ケ}=720,\ \text{コ}=\frac{4\pi}{7}$。

使用解法：置換積分（正接による置換を含む）、三角関数の合成・増減、極座標の直交座標化、点と直線の距離、1の7乗根、三角関数の値比較。 issues：なし。