4香川大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle G(u)=\displaystyle\int_0^u(\sin t)^n\,dt$ とおくと、微積分の基本定理より $G'(u)=(\sin u)^n$ である。$F(x)=G(x^2)$ だから、合成関数の微分法より $$F'(x)=2x(\sin x^2)^n.$$

(2) $n$ が偶数なら $(\sin t)^n\geq 0$ であり、これは $t=k\pi$ 以外では正である。したがって $\displaystyle G(u)=\int_0^u(\sin t)^n\,dt$ は $0\leq u\leq\pi^2$ で増加し、異なる $u$ に対して同じ値をとらない。$F(x)=G(x^2)$ なので、$-\pi\le x\le\pi$ では $x^2$ が最小となる $x=0$ で最小値 $F(0)=0$ をとり、$x^2$ が最大となる $x=\pm\pi$ で最大値 $$\displaystyle F(\pm\pi)=\int_0^{\pi^2}(\sin t)^n\,dt$$ をとる。内部では $F'(x)=0$ となる $x=\pm\sqrt{\pi},\ \pm\sqrt{2\pi},\ \pm\sqrt{3\pi}$ もあるが、$x>0$ では $F'(x)\geq0$、$x<0$ では $F'(x)\leq0$ で、これらの点の前後で符号は変わらない。よって内部の極値は $x=0$ での極小のみである。

(3) $n=5$ とする。$u=\cos t$ と置けば $$\displaystyle \int\sin^5t\,dt=-\cos t+\frac23\cos^3t-\frac15\cos^5t+C,$$ したがって $$\displaystyle F(x)=\frac8{15}-\cos(x^2)+\frac23\cos^3(x^2)-\frac15\cos^5(x^2).$$ また $F'(x)=2x\sin^5(x^2)$ である。$x>0$ では $F'(x)$ の符号は $\sin(x^2)$ の符号と一致する。$3<\pi<4$ より $3\pi<\pi^2<4\pi$ だから、$0<x<\pi$ において、$F$ は $0<x<\sqrt\pi$ で増加、$\sqrt\pi<x<\sqrt{2\pi}$ で減少、$\sqrt{2\pi}<x<\sqrt{3\pi}$ で増加、$\sqrt{3\pi}<x<\pi$ で減少する。$F$ は偶関数なので、負の範囲の増減はこれを左右反転したものとなる。 $$\displaystyle F(0)=F(\pm\sqrt{2\pi})=0,\qquad F(\pm\sqrt\pi)=F(\pm\sqrt{3\pi})=\frac{16}{15}.$$ 従って極大値は $16/15$（$x=\pm\sqrt\pi,\ \pm\sqrt{3\pi}$）、極小値は $0$（$x=0,\ \pm\sqrt{2\pi}$）である。端点について、$\delta=\pi^2-3\pi$ とおくと $0<\delta<\pi$ であり、周期性から $$\displaystyle F(\pm\pi)=\frac{16}{15}-\int_0^\delta\sin^5u\,du.$$ ここで $\displaystyle 0<\int_0^\delta\sin^5u\,du<\int_0^\pi\sin^5u\,du=16/15$ なので、$0<F(\pm\pi)<16/15$。よって閉区間での最大値・最小値もそれぞれ $16/15,0$ である。端点を片側極値として数える場合、$x=\pm\pi$ も極小値 $F(\pm\pi)$ をとる。