u=t+1 とおく。問(1)では u は実数全体を動き、問(2)では 0≦u≦2 である。直線の式はy=−ux+u2+3となる。まず x を固定し、gx(u)=u2−xu+3 の値の範囲を調べる。(1) u に制限がないとき、平方完成によりgx(u)=(u−2x)2+3−4x2.(u−2x)2≧0 であり、任意の x に対して u=2x を選べる。よって、この x で直線が通過する点の y 座標は y≧3−4x2 を満たし、逆にこの範囲の y はすべて得られる。したがって求める領域はy≧3−4x2.境界は頂点 (0,3) の下向きの放物線 y=3−4x2 であり、その上側（境界を含む）を図示する。(2) 0≦u≦2 のとき、同じ平方完成式から gx(u) の最小値を調べる。頂点の u=x/2 が区間内にあるのは 0≦x≦4 のときである。これを外れると、区間内で x/2 に最も近い端点が最小を与える。よって0≦u≦2mingx(u)=⎩⎨⎧3,3−4x2,7−2x,x≦0,0≦x≦4,x≧4.最大値は、u2≦2u よりgx(u)=u2−xu+3≦3+(2−x)u.右辺は u の一次式である。x≦2 なら 3+(2−x)u≦7−2x（等号 u=2）、x≧2 なら 3+(2−x)u≦3（等号 u=0）。したがって0≦u≦2maxgx(u)={7−2x,3,x≦2,x≧2.多項式 gx(u) は 0≦u≦2 の範囲で連続なので、最小値から最大値までのすべての y をとる。求める領域は⎩⎨⎧3≦y≦7−2x,3−4x2≦y≦7−2x,3−4x2≦y≦3,7−2x≦y≦3,x≦0,0≦x≦2,2≦x≦4,x≧4.したがって図示では、上側境界は x≦2 で y=7−2x、x≧2 で y=3。下側境界は x≦0 で y=3、0≦x≦4 で y=3−x2/4、x≧4 で y=7−2x となる。これらはすべて含み、その間を塗る。境界の接続点は下側が (0,3),(4,−1)、上側が(2,3) である。
