1東北大学 2011年 数学 第1問解答・解説

各 $p$ に対し、直線の右辺を $L_p(a)=2ap-a^2+2a+2=-a^2+2a(p+1)+2$ とおく。点 $(p,q)$ が $D(a)$ に属する条件は $q\le L_p(a)$ である。 (1)　 $-1\le a\le2$ を満たすすべての $a$ に対して成立する条件は $\displaystyle q\le\min\limits _{-1\le a\le2}L_p(a)$. $L_p(a)$ は $a^2$ の係数が負の二次関数（グラフは上に凸）なので、区間上の最小値は端点でとる。端点では $L_p(-1)=-2p-1$、$L_p(2)=4p+2$。両者の大小は $4p+2=-2p-1$ となる $\displaystyle p=-\frac12$ を境に入れ替わる。よって $\displaystyle B_1(p)=\min(-2p-1,4p+2)$ とおけば、$\displaystyle B_1(p)=4p+2\ (p\le-\frac12)$、$\displaystyle B_1(p)=-2p-1\ (p\ge-\frac12)$。求める範囲は境界を含む $q\le B_1(p)$ である。 (2)　 $-1\le a\le2$ を満たす少なくとも一つの $a$ に対して成立する条件は $\displaystyle q\le\max\limits _{-1\le a\le2}L_p(a)$. $$L_p(a)=-\bigl(a-(p+1)\bigr)^2+(p+1)^2+2.$$ $a$ の頂点 $p+1$ が範囲 $-1\le a\le2$ の左にある $p\le-2$ では最大は $a=-1$ で $-2p-1$。頂点が区間内にある $-2\le p\le1$ では最大値は $(p+1)^2+2$。頂点が区間の右にある $p\ge1$ では最大は $a=2$ で $4p+2$。したがって求める範囲は境界を含む $q\le B_2(p)$、ただし $$B_2(p)=\begin{cases}-2p-1 &(p\le-2),\\(p+1)^2+2 &(-2\le p\le1),\\4p+2 &(p\ge1).\end{cases}$$ 各条件はいずれも $(p,q)$ 平面で対応する境界曲線より下側の領域を表す。$B_2$ の接続点は $(-2,3)$、$(1,6)$、中間の放物線の頂点は $(-1,2)$ である。