東北大学 2011年数学第6問解答・解説

二次関数数列数学的な表現の工夫

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1問題

東北大学2011年度第6問

行列

$A = \left( \begin{array}{c c} 3 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} \right)$

の表す1次変換をfとする。fによる点P(1, 1)の像を $P_{1}$ とする。正の整数nに対し， $P_{n}$ のfによる像を $P_{n+1}$ とする。 $P_{n}$ が点Q(10, 10)に最も近くなるときのnの値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$n=5$ ; $P_5=(6,11)$ , $|P_5Q|^2=17$ (distance $\sqrt{17}$ ).

3解答

解答を見る途中式つきの解答

点検済み解説

n=5; P5=(6,11), |P5Q|²=17 (distance √17).

与えられた行列の積を成分で書くと $f(x,y)=(3x-y,4x-y)$ 。P_1=(2,3)であり、 $P_n=(n+1,2n+1)$ なら f(P_n)=(n+2,2n+3)なので帰納法で全てのn≧1に成立する。

Q=(10,10)との距離の二乗は $\displaystyle D_n=(n-9)^2+(2n-9)^2=5\left(n-\frac{27}{5}\right)^2+\frac{81}{5}$ 。頂点27/5に最も近い整数は5,6で、 $D_5=17,\quad D_6=18$ 。他の正整数はさらに離れているので最小はn=5。

この問題で使う考え方

行列を用いた表現
数学的帰納法
漸化式
座標による距離
二次関数の最大・最小

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