昭和大学 2012年数学第3問解答・解説

1問題

昭和大学2012年度第3問

次の各問に答えよ。ただし，答は結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 正の数 $a,b$ が $a^3+b^3=5$ を満たすとき， $a+b$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $x>0,\ x\neq1$ のとき， $\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

(3) 点 $P$ が楕円 $x^2+5(y-1)^2=5$ 上を動くとき，原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ。

(4) $A=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ とする。 $(I+A)^{2012}=mI+nA$ となる実数 $m,n$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

和と積に置き換えてa,bの存在範囲を調べ、対数式は底をxにそろえた。楕円上の距離二乗をyの二次関数に直した。行列は積を直接計算して二乗の関係を帰納的に使った。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\sqrt[3]{5}<a+b\le\sqrt[3]{20},\quad$ (2) $\displaystyle 1<x<\frac{27}{2},\quad$ (3) $\displaystyle \frac52,\quad$ (4) $m=-2^{1006},\space{}n=0.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}&(1) s=a+b,\ q=ab \text{とすると} a^3+b^3=s^3-3qs=5 \text{より} q=\frac{s^3-5}{3s}.\ q>0 \text{から} s^3>5. \text{また} (a-b)^2\ge0 \text{より} q\le s^2/4 \text{なので} s^3\le20. \text{逆に} \sqrt[3]5<s\le\sqrt[3]{20} \text{なら} 0<q\le s^2/4 \text{であり、}t^2-st+q=0 \text{は正の実数解} a,b \text{をもつ。よって範囲は} (\sqrt[3]5,\sqrt[3]{20}].\&(2) \frac1{\log_2x}=\log_x2,\ \frac3{\log_3x}=\log_x27 \text{より左辺は} \log_x\frac{2x}{27}. x>1 \text{では底} x \text{の対数関数が増加するから} 2x/27<1\text{、すなわち} x<27/2. 0<x<1 \text{では減少関数だが} 2x/27<1 \text{のため対数値は正。よって} 1<x<27/2.\&(3) \text{楕円の式から} x^2=5-5(y-1)^2\text{、また} 0\le y\le2. \text{距離の}2\text{乗は} x^2+y^2=-4y^2+10y=-4(y-\frac54)^2+\frac{25}4. \text{頂点} y=5/4 \text{は範囲内なので最大距離は} 5/2.\&(4) \text{積を直接計算すると} A^2=-I\text{、したがって} (I+A)^2=2A. A^{2k}=(-1)^kI \text{は} k=0 \text{で成り立ち、両辺に} A^2=-I \text{を掛けると} k+1 \text{でも成り立つ。よって} (I+A)^{2012}=((I+A)^2)^{1006}=2^{1006}A^{1006}=-2^{1006}I. \text{したがって} m=-2^{1006},n=0.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

二次方程式の判別式
解と係数の関係
対数とその性質
対数関数のグラフ・増減
楕円
二次関数の最大・最小
数学的帰納法
行列を用いた表現

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