4昭和大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1-1)

$\displaystyle h(t)=\frac{t^2}{\sqrt3}-t$ とおく。$y=h(x),\ x=h(y)$ を引くと $\displaystyle (y-x)\frac{x+y}{\sqrt3}=0.$ $x\ne y$ なら $y=-x$ となるが、$y=h(x)$ に代入すると $x^2=0$ で矛盾する。ゆえに $x=y.\ x=h(x)$ より $x(x-2\sqrt3)=0$ なので交点は $(0,0),(2\sqrt3,2\sqrt3).$

(1-2)

2曲線は $y=x$ に関して対称であり、この直線が交点を結んで領域を二等分する。$0<x<2\sqrt3$ で $h(x)<x$ だから片側の面積は $\displaystyle \int_0^{2\sqrt3}(x-h(x))\,dx=\int_0^{2\sqrt3}(2x-\frac{x^2}{\sqrt3})\,dx=4.$ よって全体は $8.$

(2)

$a\sqrt{2x^2+x+1}-bx=a(\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt2x)+(a\sqrt2-b)x.$ 有限な極限には $b=a\sqrt2$ が必要。さらに $\displaystyle \sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt2x=\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt2x}\longrightarrow\frac1{2\sqrt2}.$ よって $\displaystyle \frac{a}{2\sqrt2}=2$ から $a=4\sqrt2,b=8.$

(3)

$g(t)=3^t(3^t-4)$ とおく。$\displaystyle f(x)=x\int_0^xg(t)\,dt-\int_0^xtg(t)\,dt$ と書き、積分の基本定理で微分すると $\displaystyle f'(x)=\int_0^xg(t)\,dt=\frac{(3^x-1)(3^x-7)}{2\ln 3}.$ $x>0$ では $3^x-1>0$ なので、$0<x<\log_3 7$ で $f'(x)<0$、$x>\log_3 7$ で $f'(x)>0.$ よって最小値を与えるのは $x=\log_3 7.$