4広島大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1)　 点 $(p,e^p)$ が $C_2$ 上にあるから $$\displaystyle \frac{p^2}{a^2}+\frac{e^{2p}}{b^2}=1.$$ $C_1:y=e^x$ の傾きは $e^p$。$C_2$ の式を $x$ で微分すると $$\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0, \qquad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(p,e^p)}=-\frac{b^2p}{a^2e^p}.$$ 接線が一致するので傾きも一致し、 $$\displaystyle e^p=-\frac{b^2p}{a^2e^p},\qquad b^2=-\frac{a^2e^{2p}}p.$$ これを共有点の条件に代入すると $$\displaystyle \frac{p^2}{a^2}-\frac{p}{a^2}=1, \qquad p^2-p=a^2.$$ 従って $p=(1\pm\sqrt{1+4a^2})/2$。$a>0$ より $\sqrt{1+4a^2}>1$ で、仮定 $p<0$ を満たすのは負号だけだから $$\displaystyle \boxed{p=\frac{1-\sqrt{1+4a^2}}2}.$$

(2)　 $$\displaystyle p+a=\frac{2a+1-\sqrt{4a^2+1}}2.$$ 分子を有理化すると $$\displaystyle p+a=\frac{(2a+1)^2-(4a^2+1)}{2(2a+1+\sqrt{4a^2+1})} =\frac{2a}{2a+1+\sqrt{4a^2+1}} =\frac{2}{2+\frac1a+\sqrt{4+\frac1{a^2}}}.$$ $a\to\infty$ のとき分母は $2+0+2=4$ に近づくので $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{a\to\infty}(p+a)=\frac12}.$$

(3)　 接線条件から得た $$\displaystyle b^2=-\frac{a^2e^{2p}}p$$ より $$\displaystyle \frac{b^2e^{2a}}a=-\frac ap e^{2(p+a)}.$$ $q=p+a$ とおくと (2) より $q\to1/2$、また $p=q-a$ だから $$\displaystyle -\frac ap=\frac{a}{a-q}=\frac{1}{1-q/a}\longrightarrow1.$$ 指数関数の連続性から $e^{2(p+a)}=e^{2q}\to e$。従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{a\to\infty}\frac{b^2e^{2a}}a=e}.$$