3広島大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $\mathrm{AB}$ 上の点を $P$ とし、$P=\mathrm{A}+\lambda(\mathrm{B}-\mathrm{A})$ とおくと、 $$\displaystyle P\left(\frac{\lambda}{2},0,\frac34-\frac{\lambda}{4}\right).$$ $x$ 軸上では $z=0$ だから $\lambda=3$ となり、$\displaystyle x=\frac32$。

(2) $\mathrm{D}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ は $y=0$ 上にあり、$\mathrm{C}$ は $t>0$ より $y>0$ なので、$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ は一直線上にない。したがって、ある実数 $\lambda,\mu$ により $$\mathrm{D}=\mathrm{A}+\lambda(\mathrm{B}-\mathrm{A})+\mu(\mathrm{C}-\mathrm{A})$$ と表せる。$\mathrm{D}=(0,u,0)$ の各座標を比較して $$\displaystyle 0=\frac{\lambda}{2}+\mu s,\qquad u=\mu t,\qquad 0=\frac34-\frac{\lambda}{4}-\frac{3\mu}{4}.$$ 第1、第3式より $$\lambda=-2\mu s,\qquad 3=\lambda+3\mu=\mu(3-2s).$$ $s=1-t$ より $\displaystyle \mu=\frac{3}{3-2s}=\frac{3}{1+2t}$、したがって $\displaystyle u=\frac{3t}{1+2t}$。$s>0,t>0,s+t=1$ より $0<t<1$。よって $1+2t>0$ から $u>0$。また $3t<1+2t$ は $t<1$ と同値だから $u<1$。

(3) $\mathrm{OD}:\mathrm{DE}=12:1$ で、$\mathrm{OE}=1$ より $\displaystyle u=\frac{12}{13}$。これを (2) に代入すると $$\displaystyle \frac{3t}{1+2t}=\frac{12}{13},\qquad 39t=12+24t,\qquad 15t=12,$$ $\displaystyle \therefore\;t=\frac45$。