2広島大学 2015年 数学 第2問解答・解説

座標平面上の放物線 $$C_{n}: y=x^{2}-p_{n}x+q_{n}\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ を考える。ただし、$p_{n},q_{n}$ は $$p_{1}^{2}-4q_{1}=4,\qquad p_{n}^{2}-4q_{n}>0\qquad(n=2,3,4,\ldots)$$ を満たす実数とする。$C_{n}$ と $x$ 軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを $\ell_{n}$ とする。また、$C_{n}$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ は $$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\left(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}\right)^{3}\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ を満たすとする。次の問いに答えよ。

(1) $C_{n}$ の頂点の $y$ 座標を $\ell_{n}$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{\ell_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(3) $p_{n}=n\sqrt{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ であるとき、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty} n\log\left(-\frac{2q_{n}}{n^{2}}\right)$$ を求めよ。ただし、$\log x$ は $x$ の自然対数である。