1昭和大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1-1) 第100項

分母が $2^k$ のグループは $$\displaystyle \frac1{2^k},\frac3{2^k},\ldots,\frac{2^k-1}{2^k}$$ であり、項数は $2^{k-1}$ 個である。第 $k$ グループより前の項数は $$1+2+\cdots+2^{k-2}=2^{k-1}-1.$$ $2^6-1=63<100\le127=2^7-1$ なので、第100項は第7グループの第 $100-63=37$ 項である。第7グループの第 $j$ 項の分子は $2j-1$ だから、 $$\displaystyle \boxed{\frac{73}{128}}.$$

(1-2) 初項から第100項までの和

第 $k$ グループ全体の和は、奇数 $1,3,\ldots,2^k-1$ の和を $2^k$ で割ったものである。奇数 $2^{k-1}$ 個の和は $(2^{k-1})^2$ なので、 $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{2^{k-1}}\frac{2j-1}{2^k}=2^{k-2}.$$ 第1～第6グループの和は $$\displaystyle \frac12+1+2+4+8+16=\frac{63}{2}.$$ 第7グループでは第37項までを足すので、 $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{37}\frac{2j-1}{128} =\frac{37^2}{128} =\frac{1369}{128}.$$ 従って求める和は $$\displaystyle \frac{63}{2}+\frac{1369}{128} =\boxed{\frac{5401}{128}}.$$

(2) 連立不等式

加法定理により $$\displaystyle 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2\sqrt3\cos x =\sin x-\sqrt3\cos x =2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$ $\displaystyle \theta=x-\frac{\pi}{3}$ と置くと、条件は $$\displaystyle -\frac{\pi}{3}\le\theta<\frac{5\pi}{3},\qquad 0\le\sin\theta\le\frac12$$ となる。この範囲で $\sin\theta\ge0$ なのは $0\le\theta\le\pi$ であり、その中で $\sin\theta\le1/2$ となるのは $$\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{6} \quad\text{または}\quad \frac{5\pi}{6}\le\theta\le\pi.$$ $\theta=x-\pi/3$ を戻すと $$\displaystyle \boxed{\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{\pi}{2} \quad\text{または}\quad \frac{7\pi}{6}\le x\le\frac{4\pi}{3}}.$$

(3) 対数方程式を解がもつ底 $a$

対数の定義域から $1<x<4$、また底は $a>0,\ a\ne1$ である。対数の積の公式を使うと、 $$\log_a\bigl((x-1)(4-x)\bigr)=-2 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (x-1)(4-x)=a^{-2}.$$ 左辺は $$\displaystyle (x-1)(4-x)=\frac94-\left(x-\frac52\right)^2.$$ $1<x<4$ での値域は $0<(x-1)(4-x)\le9/4$ である。従って方程式が解をもつ必要十分条件は $$\displaystyle 0<a^{-2}\le\frac94.$$ $a>0$ より、これは $a\ge2/3$ と同値である。ただし $a=1$ は対数の底にできないから、 $$\displaystyle \boxed{a\ge\frac23,\quad a\ne1}.$$

(4) 相異なる2つの実数解をもつ $m$

平方根の定義域から $x\ge0$ である。$t=\sqrt{x}$ と置けば $t\ge0,\ x=t^2$ であり、元の方程式は $$t^3-mt+1=0$$ となる。$x=t^2$ は $t\ge0$ で一対一なので、異なる $x$ の解が2つあることは、この三次式が異なる正の根を2つもつことと同値である。

$m\le0$ なら $t^3-mt+1>0$ で $t\ge0$ に根はない。$m>0$ のとき、関数 $h(t)=t^3-mt+1$ は $$h'(t)=3t^2-m$$ より $0\le t<\sqrt{m/3}$ で減少し、$t>\sqrt{m/3}$ で増加する。$h(0)=1$、かつ $h(t)\to\infty$ なので、異なる正の根が2つあるための必要十分条件は最小値が負であること: $$\displaystyle h\left(\sqrt{\frac m3}\right) =1-2\left(\sqrt{\frac m3}\right)^3<0.$$ これは $$\displaystyle \sqrt{\frac m3}>\frac1{\sqrt[3]{2}} \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \boxed{m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}}$$ と同値である。等号の場合は最小点で接する重根が1つだけなので、端点は含まない。

(5) 数列 $a_n$ の極限

自然対数をとると $$\displaystyle \ln a_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\ln\left(1+\frac{2k}{n}\right).$$ これは連続関数 $\ln(1+2u)$ のリーマン和だから、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\ln a_n =\int_0^1\ln(1+2u)\,du =\frac12\int_1^3\ln v\,dv =\frac{3\ln3-2}{2}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n =\exp\left(\frac{3\ln3-2}{2}\right) =\frac{3\sqrt3}{e}}.$$

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1\text{-}1)&:\ \frac{73}{128},& (1\text{-}2)&:\ \frac{5401}{128},\\ (2)&:\ \frac\pi3\le x\le\frac\pi2\text{ または }\frac{7\pi}6\le x\le\frac{4\pi}3,\\ (3)&:\ a\ge\frac23,\quad a\ne1,& (4)&:\ m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},\\ (5)&:\ \frac{3\sqrt3}{e}. \end{aligned}$$

使用した解法

等比数列の項数と奇数の和、三角関数の加法定理と単位円上の符号・範囲、対数の定義域と積の公式、微分による三次関数の最小値判定、リーマン和と定積分を用いた。