3大阪公立大学 2023年 数学 第3問解答・解説

第3問

問1

$q(x)=(b-x)(x-a)$ とおくと $$q(a)=q(b)=0,\qquad q'(a)=b-a,\qquad q'(b)=a-b,\qquad q''(x)=-2.$$ 部分積分を2回用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b q(x)f''(x)\,dx &=[q(x)f'(x)]_a^b-\int_a^b q'(x)f'(x)\,dx\\ &=-[q'(x)f(x)]_a^b+\int_a^b q''(x)f(x)\,dx\\ &=-\{(a-b)f(b)-(b-a)f(a)\}-2\int_a^b f(x)\,dx\\ &=(b-a)\{f(a)+f(b)\}-2\int_a^b f(x)\,dx. \end{aligned}$$ これは示すべき等式である。

問2

$f(x)=\log x$ とし、問1を $a=t,\ b=t+1$ に適用する。$f''(x)=-1/x^2$ なので、求める差を $$\displaystyle I=\int_t^{t+1}\log x\,dx-\frac12\{\log t+\log(t+1)\}$$ とおけば $$\displaystyle I=\frac12\int_t^{t+1} \frac{(t+1-x)(x-t)}{x^2}\,dx.$$ ここで $u=x-t$ とすると $0\le u\le1$ であり、 $$\displaystyle (t+1-x)(x-t)=u(1-u)\ge0,\qquad u(1-u)\le\frac14,\qquad x\ge t>0.$$ 従って $$\displaystyle 0\le I\le\frac18\int_t^{t+1}\frac{dx}{x^2} =\frac18\left(\frac1t-\frac1{t+1}\right),$$ となり、両側の不等式が示された。

問3

問2の差を $I_k$ と書くと、任意の自然数 $k$ に対し $$\displaystyle 0\le I_k= \int_k^{k+1}\log x\,dx-\frac12\{\log k+\log(k+1)\} \le\frac18\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right).$$ これを $k=1,\ldots,n-1$ について加える。台形和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac{\log k+\log(k+1)}2 =\sum\limits _{k=2}^{n-1}\log k+\frac12\log n =\log(n!)-\frac12\log n$$ であり、また $$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1.$$ 従って $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}I_k =\int_1^n\log x\,dx-\log(n!)+\frac12\log n$$ より $$\displaystyle a_n=1+\frac12\log n-\sum\limits _{k=1}^{n-1}I_k.$$ 上の評価を足すと、$n\ge2$ について $$\displaystyle 1+\frac12\log n-\frac18\left(1-\frac1n\right) \le a_n\le 1+\frac12\log n.$$ $\log n>0$ で割り、$n\to\infty$ とすると、両端とも $1/2$ に収束する。はさみうちの原理により $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{\log n}=\frac12}$$ である。