5秋田大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(i) e^x は正であり、x が実数全体を動くとき e^x は正の実数すべての値をとる。t=e^x とおけば f(x)=$\displaystyle \frac{1}{1+t}$ となるので、t>0 に対して f(x) は 0 より大きく1より小さい。また0<r<1 を満たす任意の実数 r に対し t=$\displaystyle \frac{1-r}{r}$>0 とすれば $\displaystyle \frac{1}{1+t}=r$ となる。したがって値域は 0<f(x)<1 である。 (ii) $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x-\log(1+e^x)\right)=1-\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x}$ だから、$$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\left[x-\log(1+e^x)\right]_0^1=1+\log2-\log(1+e)=1-\log\frac{1+e}{2}.$$ (iii) u=f(a) とおくと 0<u<1 であり、$$\displaystyle f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}=-f(x)(1-f(x)).$$ よって点 (a,u) における接線は $$y-u=-u(1-u)(x-a).$$ 直線 y=2, y=-1 との交点のx座標をそれぞれ x_P,x_Q とすると、$$\displaystyle x_P=a+\frac{u-2}{u(1-u)},\qquad x_Q=a+\frac{u+1}{u(1-u)},\qquad x_Q-x_P=\frac{3}{u(1-u)}.$$ したがって $$\displaystyle PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+3^2}=3\sqrt{1+\frac{1}{u^2(1-u)^2}}.$$ ここで $$\displaystyle u(1-u)=\frac14-\left(u-\frac12\right)^2\le\frac14$$ であり、等号は u=1/2 のときに限る。PQは u(1-u) が最大のとき最小となるから u=1/2。f(a)=1/2 より e^a=1、したがって a=0。