2北里大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $k-1\le x\le k$ では $1/x\ge1/k$ であり、$k-1\le x<k$ では不等号が真に強い。したがって、各 $k=2,\ldots,n$ について $$\displaystyle \frac1k<\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}.$$ これを足し合わせると $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n}\frac1k <\int_1^n\frac{dx}{x} =\log n$$ となる。$n\ge2$ なので少なくとも1つの正の長さの区間があり、不等号は厳密である。 (2) $f(0)=0$ であり、$x>0$ に対して $$\displaystyle f'(x)=1+\frac1{(1+x)^2}-\frac2{1+x} =\frac{x^2}{(1+x)^2}>0.$$ よって $f$ は $x\ge0$ で増加し、$f(x)>f(0)=0$ がすべての $x>0$ で成り立つ。ここで $x=1/n>0$ を代入すると $$\displaystyle 0<f(1/n)=\frac1n+\frac1{n+1}-2\log\left(1+\frac1n\right)$$ であり、指定の不等式が得られる。 (3) (2)の不等式を $k=1,\ldots,n-1$ について足すと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right) >2\sum\limits _{k=1}^{n-1}\log\left(1+\frac1k\right).$$ 左辺は $\displaystyle 2\sum\limits _{k=1}^n1/k-1-1/n$、右辺は対数の積の公式により $$\displaystyle 2\log\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}=2\log n$$ である。したがって両辺を2で割れば $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k-\frac12\left(1+\frac1n\right)>\log n$$ を得る。