2九州大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1)

関数 $\displaystyle y=\dfrac{1}{x(\log x)^2}$ の定義域は $x>1$ である。分母を $f(x)=x(\log x)^2$ とおくと、$x>1$ では $\log x>0$ より $f(x)>0$ である。

積の微分公式と対数関数の微分 $\displaystyle (\log x)'=\dfrac1x$、および合成関数の微分により、 $$\displaystyle f'(x)=(x)'(\log x)^2+x\{(\log x)^2\}'=(\log x)^2+x\cdot2\log x\cdot\frac1x=(\log x)^2+2\log x=\log x(\log x+2).$$ $x>1$ のとき $\log x>0$ であるから $\log x+2>0$ でもあり、したがって $$f'(x)=\log x(\log x+2)>0.$$ $\displaystyle y=\dfrac{1}{f(x)}$ に商の微分公式（逆数の微分）を用いると $$\displaystyle y'=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}.$$ $x>1$ で $f(x)>0$ かつ $f'(x)>0$ であるから $\{f(x)\}^2>0$ より $$\displaystyle y'=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}<0\quad(x>1).$$ よって $y$ は $x>1$ で常に $y'<0$ となるので、単調に減少する。

(2)

$t=\log x$ とおくと $\displaystyle \dfrac{dt}{dx}=\dfrac1x$、すなわち $\displaystyle dt=\dfrac{dx}{x}$ である。よって $$\displaystyle \int\frac{1}{x(\log x)^2}\,dx=\int\frac{1}{t^2}\,dt=-\frac1t+C=-\frac{1}{\log x}+C\quad(x>0,\ x\neq1).$$ （検算）$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac1{\log x}\right)=\dfrac{1}{(\log x)^2}\cdot\dfrac1x=\dfrac{1}{x(\log x)^2}$ となり、もとの被積分関数に一致するので正しい。

(3)

(1)により、関数 $\displaystyle f(x)=\dfrac1{x(\log x)^2}$ は $x>1$ で連続かつ単調に減少する。

整数 $k\ge3$ に対し、$k-1\le x\le k$ の範囲は $k-1\ge2>1$ であるから $f$ の定義域 $x>1$ に含まれ、この区間上で $f$ は単調に減少している。したがって $k-1\le x\le k$ のとき $x\le k$ より $f(x)\ge f(k)$ が成り立つ。両辺を $k-1\le x\le k$ の範囲（幅 $1$）で積分すると $$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f(x)\,dx\ \ge\ \int_{k-1}^{k}f(k)\,dx=f(k).$$ すなわち各整数 $k\ge3$ に対して $$\displaystyle f(k)\le\int_{k-1}^{k}f(x)\,dx$$ が成り立つ。$k=3,4,\dots,n$ について両辺の和をとると、右辺は隣接する区間をつないで $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{n}f(k)\ \le\ \sum\limits _{k=3}^{n}\int_{k-1}^{k}f(x)\,dx=\int_{2}^{n}f(x)\,dx$$ となる。(2)の結果より $$\displaystyle \int_{2}^{n}f(x)\,dx=\Big[-\frac1{\log x}\Big]_{2}^{n}=-\frac1{\log n}+\frac1{\log 2}=\frac1{\log2}-\frac1{\log n}.$$ $n\ge3$ より $\log n>0$ であるから $\displaystyle \dfrac1{\log n}>0$ であり、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{n}\frac{1}{k(\log k)^2}=\sum\limits _{k=3}^{n}f(k)\ \le\ \frac1{\log2}-\frac1{\log n}\ <\ \frac1{\log2}.$$ 以上により、$3$ 以上の任意の整数 $n$ に対して $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{n}\frac{1}{k(\log k)^2}<\frac1{\log2}$$ が成り立つことが示された。