3九州大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $-1<k<1$ とし、$a=\sqrt{1-k^2}$ とおく。平面 $x=k$ における上半球の断面は $$y^2+z^2\le a^2,\qquad z\ge0$$ である。光線に沿って $(y,z)$ から $z=0$ まで進むと、地面上の座標は $Y=y+\sqrt3z$ となる。半円板上で $-a\le Y\le2a$ であり、両端はそれぞれ $(y,z)=(-a,0)$ と $(a/2,\sqrt3a/2)$ で達する。球が $x=k$ 上で占める範囲は $|y|\le a$ なので、球の外側で影となる部分は $$\boxed{\sqrt{1-k^2}<y\le2\sqrt{1-k^2}}.$$ 左端は球面上にあるため「球の外」には含めず、右端の接線上は遮られるので含む。

(2) $x=k$ における影の外側の幅は $a=\sqrt{1-k^2}$ である。よって $$\displaystyle S=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac12\pi\cdot1^2 =\boxed{\frac{\pi}{2}}.$$

(3) $x$ を固定し、$a=\sqrt{1-x^2}$ とする。$yz$ 断面の半円に光線と平行な接線を引くと、接点は $$\displaystyle T=\left(\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2}\right)$$ である。この接線は $z=0$ と $E=(2a,0)$ で交わる。$B=(a,0)$ とすると、球外の影の断面は三角形 $BTE$ から、弦 $BT$ と円弧 $BT$ にはさまれた円弓形を除いた領域である。三角形の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}a^2$、円弓形は中心角 $\pi/3$ の扇形から三角形 $OBT$ を引いたものだから $$\displaystyle \text{円弓形の面積} =\frac{\pi}{6}a^2-\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$ したがって断面積は $$\displaystyle A(x)=\frac{\sqrt3}{4}a^2-\left(\frac{\pi}{6}a^2-\frac{\sqrt3}{4}a^2\right) =\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right)(1-x^2).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_{-1}^{1}A(x)\,dx\\ &=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right) \left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}\\ &=\boxed{\frac{2\sqrt3}{3}-\frac{2\pi}{9}} =\boxed{\frac{2(3\sqrt3-\pi)}{9}}. \end{aligned}$$

分類 単元: 空間座標と球の断面、円と扇形、定積分による面積・体積（数学I・A・II・IIIの範囲）。

方法: 平行光線を断面内で射影し、接線で影の境界を定め、断面積を積分する。

テーマ: 半球に斜め平行光を当てたとき、球の外にできる影の面積と体積。