1琉球大学 2013年 数学 第1問解答・解説

問1 球の半径 $R=1/2$、中心を含まない小球冠の高さを $h=1/2-a$ とする。軸方向座標をzとすると球冠体積は $$\displaystyle \int_{R-h}^R\pi(R^2-z^2)\,dz =\pi h^2\left(R-\frac h3\right).$$ これにR,hを代入すると $$\displaystyle V=\pi(\tfrac12-a)^2\left(\tfrac12-\frac{\tfrac12-a}{3}\right) =\frac{\pi}{12}(1-3a+4a^3).$$

問2 立方体の中心を原点とし頂点を $$\displaystyle A=\tfrac12(-1,-1,1),\ C=\tfrac12(1,1,1),\ F=\tfrac12(1,-1,-1),\ H=\tfrac12(-1,1,-1)$$ と置く。この正四面体の各面は中心から距離 $d=\sqrt3/6$ にある。球の半径はR=1/2なので、一つの面の外側に球内でできる球冠の高さは $$\displaystyle h=R-d=\frac{3-\sqrt3}{6}.$$ 4面の外側球冠は互いに内部で重ならない。実際、異なる2面の外向き単位法線$n_1,n_2$は内積 $\displaystyle -\frac13$ をもち、両面の外側に同時にあるXがあれば $$\displaystyle (n_1+n_2)\cdot X>2d=\frac1{\sqrt3},$$ 一方 $|n_1+n_2|=2/\sqrt3,\ |X|\le1/2$ より左辺は $1/\sqrt3$ 以下となり矛盾。

よって共通部分は球体積から4球冠を引けばよい。1球冠の体積は $$\displaystyle \pi h^2(R-h/3)=\frac{\pi(9-4\sqrt3)}{108}.$$ 従って $$\displaystyle V=\frac{\pi}{6}-4\cdot\frac{\pi(9-4\sqrt3)}{108} =\frac{\pi(8\sqrt3-9)}{54}.$$