2琉球大学 2013年 数学 第2問解答・解説

（1）媒介変数を消去するために、与式から $$x+y=\sqrt{3}\cos\theta,\qquad x-2y=\sqrt{6}\sin\theta$$ を得る。したがって、$0\leq\theta\leq\pi$ では $$\displaystyle \frac{(x+y)^2}{3}+\frac{(x-2y)^2}{6}=1, \qquad x-2y\geq 0.$$ 左辺を展開すると $$2(x+y)^2+(x-2y)^2=3x^2+6y^2=6$$ だから、曲線の関係式は $$x^2+2y^2=2,\qquad x-2y\geq 0$$ である。これは原点を中心とし、$x$ 軸方向の半径が$\sqrt{2}$、$y$ 軸方向の半径が$1$ の楕円のうち、直線 $y=x/2$ より下側にある半分である。端点は $x=2y$ を楕円の式に代入して $$(2/\sqrt{3},1/\sqrt{3}),\qquad (-2/\sqrt{3},-1/\sqrt{3})$$ となる。また、$\theta=\pi/2$ では $(x,y)=(\sqrt{6}/3,-\sqrt{6}/3)$ を通るので、この点を通る方の半楕円弧を図示すればよい。

（2）楕円上の点を $(u,v)$ とすると、$u^2+2v^2=2$ である。曲線の式を微分すると、接点での接線方向の変位 $(dx,dy)$ は $$u\,dx+2v\,dy=0$$ を満たす。よって接点 $(u,v)$ における接線は $$u(x-u)+2v(y-v)=0,$$ すなわち $ux+2vy=2$ である。この接線が $(2,0)$ を通る条件は $2u=2$、したがって $u=1$ である。楕円の式から $$\displaystyle 1+2v^2=2,\qquad v=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ ただし、曲線 $C$ には $u-2v\geq0$ が必要である。$v=1/\sqrt{2}$ では $1-\sqrt{2}<0$ となって曲線上にない。一方、$v=-1/\sqrt{2}$ では $1+\sqrt{2}>0$ であり、接点は $(1,-1/\sqrt{2})$ である。これを接線の式に代入して $$x-\sqrt{2}y=2$$ を得る。この点は $x^2+2y^2=2$ を満たし、さらに $x-2y=1+\sqrt{2}>0$ なので、指定された媒介変数の範囲にも含まれる。

楕円のうち条件 x−2y≧0 を満たす半周（両端含む）。