5広島大学 2021年 数学 第5問解答・解説

原問では(A),(B)から1題を選択する。ここでは両方を解説する。

(A)(1) 接線の傾きは $e^t$ だから、法線は $$\boxed{y-e^t=-e^{-t}(x-t)}.$$ (2) $Q=(0,e^t+te^{-t})$ なので $R=(t/2,e^t+(t/2)e^{-t})$。$t=0$ の定義とも一致する。$x=t/2$ とすれば $$\boxed{y=h(x)=e^{2x}+xe^{-2x}\quad\text{（$x$ は実数）}}.$$ (3) $h'(x)=e^{-2x}(2e^{4x}+1-2x)>0$。実際 $x\le1/2$ なら括弧内は正であり、$x>1/2$ なら $e^{4x}\ge1+4x$ から $2e^{4x}+1-2x\ge3+6x>0$（この指数不等式は $e^u-1-u$ の増減から得られる）。 $H=e^2+e^{-2}$ とおけば $h(0)=1,h(1)=H$。したがって囲まれた図形は $0\le x\le1,h(x)\le y\le H$。 面積 $S$ は $$\displaystyle \begin{aligned}S&=H-\int_0^1(e^{2x}+xe^{-2x})dx\\&=H-\left[\frac12e^{2x}-\left(\frac x2+\frac14\right)e^{-2x}\right]_0^1\\&=\boxed{\frac{e^2}{2}+\frac{7e^{-2}}4+\frac14}.\end{aligned}$$ (4) この範囲で $h(x)\ge1>0$ なので外半径 $H$、内半径 $h(x)$ の円環断面を積分する。 $$\displaystyle V=\pi\int_0^1\{H^2-h(x)^2\}\,dx.$$ $h(x)^2=e^{4x}+2x+x^2e^{-4x}$ であり、部分積分により $$\displaystyle \int x^2e^{-4x}dx=-e^{-4x}\left(\frac{x^2}4+\frac x8+\frac1{32}\right).$$ よって $\displaystyle \int_0^1h(x)^2dx=e^4/4+25/32-13e^{-4}/32$。$H^2=e^4+2+e^{-4}$ と合わせて $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(\frac{3e^4}4+\frac{39}{32}+\frac{45e^{-4}}{32}\right)}.$$

(B)(1) 同じ点から円へ引いた2接線の長さは等しい。$B$ から2接点までの長さを $u>0$ とすると、$O$ からの接線長は3、$A$ からの接線長は1なので $$OB=u+3,\quad AB=u+1,\qquad\boxed{OB-AB=2}.$$ (2) 半周長は $s=u+4$。面積を $\Delta$ とする。内心から3辺へ下ろす垂線による分割から $\Delta=rs$。また、余弦定理と $\Delta=(1/2)OA\cdot OB\sin\angle AOB$ を組み合わせた面積公式（ヘロンの公式）により $$\Delta^2=s(s-4)(s-(u+3))(s-(u+1))=3u(u+4).$$ したがって $r^2=3u/(u+4)$。$u$ が正の実数全体を動くとき、この値は0から3に近づき、$u$ が増えると必ず大きくなる。辺長 $4,u+3,u+1$ は $u>0$ なら三角不等式をすべて満たすので、全ての値が実現し、$\boxed{0<r<\sqrt3}$。 (3) $B=(x,y)$ とする。内心が上側にあるので $y>0$。2辺の平方の差から $$8x-16=OB^2-AB^2=(u+3)^2-(u+1)^2=4u+8,$$ よって $x=3+u/2>3$。さらに $$y^2=(u+3)^2-x^2=3\{(x-2)^2-1\}.$$ したがって軌跡は $$\displaystyle \boxed{(x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1,\quad x>3,\quad y>0}.$$ 逆にこの枝の任意の点では $u=2x-6>0$ と置くと上記辺長になり、$OA$ 上の内接円の接点は $O$ から3、$A$ から1の位置になる。その内心は $(3,r)$ で第1象限にあるので、余分な点はない。 概形は、中心 $(2,0)$、頂点 $(3,0)$ の右向き双曲線の上半分。頂点は除き、漸近線は $y=\sqrt3(x-2)$ である。