広島大学 2021年数学第2問解答・解説

二次関数ベクトルいろいろな式図形の性質微分・積分の考え

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1問題

広島大学2021年度第2問

座標平面において，二つの放物線 $y=x^2,\qquad y=-\sqrt{2}x^2+3x+\sqrt{2}$ 上にそれぞれ点 $A(1,1)$ ，点 $C(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$ をとる。次の問いに答えよ。

(1) 放物線 $y=x^2$ 上に点 $A$ と異なる点 $B$ があり， $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CB}$ は垂直であるとする。このとき， $B$ の座標を求めよ。

(2) 放物線 $y=-\sqrt{2}x^2+3x+\sqrt{2}$ 上に点 $C$ と異なる点 $D$ があり， $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{CD}$ は垂直であるとする。このとき， $D$ の座標を求めよ。

(3) $B,D$ はそれぞれ (1), (2) で定めたものとする。このとき，四角形 $ABCD$ が正方形であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad B=(\sqrt2,2)\quad$ 。 (2) $\quad D=(0,\sqrt2)\quad$ 。 (3) $\quad ABCD\quad$ は正方形。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$r=\sqrt2$ と置く。

(1) $B=(t,t^2)$ とおくと、 $(B-A)\cdot(B-C)=0$ は $(t-1)(t-r+1)+(t^2-1)(t^2-r-1)=0$ すなわち $(t-r)(t^2+(r+1)t+2)=0$ 。二次因子の判別式は $2r-5<0$ なので $t=r$ 、ゆえに $B=(r,2)$ 。

(2) $f(x)=-rx^2+3x+r$ 、 $c=r-1$ 、 $m=f'(c)=2r-1$ とする。 $D$ の横座標を $c+h$ とすれば $D=(c+h,r+1+mh-rh^2)$ 。 $D\ne C$ なので $h\ne0$ 。直交条件 $(D-A)\cdot(D-C)=0$ を展開して $h$ で割ると $2(h+r-1)(h^2-3h+1+r)=0.$ 二次因子の判別式は $5-4r<0$ より $h=1-r$ 。従って $D=(0,r)$ 。

(3) $\overrightarrow{AB}=(r-1,1), \overrightarrow{BC}=(-1,r-1), \overrightarrow{CD}=-(r-1,1), \overrightarrow{DA}=(1,1-r)$ なので $ABCD$ は平行四辺形。また $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ かつ $|\overrightarrow{AB}|^2=(r-1)^2+1=|\overrightarrow{BC}|^2$ 。従って正方形。

この問題で使う考え方

媒介変数表示
内積条件の因数分解
判別式で実数解を排除
ベクトルの内積・長さで形を判定

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