九州大学 2025年数学第1問解答・解説

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1問題

九州大学2025年度第1問配点 50点

この問題の解答は、解答紙15の定められた場所に記入しなさい。

【問題】座標空間内の3点 $A(1,1,-5)$ 、 $B(-1,-1,7)$ 、 $C(1,-1,3)$ を通る平面を $\alpha$ とする。点 $P(a,b,t)$ を通り $\alpha$ に垂直な直線と $xy$ 平面との交点を $Q$ とする。

(1) 点 $Q$ の座標を求めよ。

(2) $t$ がすべての実数値をとって変化するときの $OQ$ の最小値が1以下となるような $a,b$ の条件を求めよ。ただし、 $O$ は原点である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$Q=(a−2t,b−4t,0)$
(2)
$\left|2a-b\right|\le\sqrt5$ （同値に $-\sqrt5\le2a-b\le\sqrt5$ ）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

平面αの法線を、辺AB・ACとの内積が0になる条件から求める。次に法線方向へ点Pから進む直線を媒介変数表示し、z座標が0になるときのQを求める。Qの距離平方をtの二次式にして平方完成すると、最小値は $\displaystyle \frac{|2a-b|}{\sqrt5}$ となるため、それが1以下である条件を整理する。

この問題で使う考え方

内積による法線ベクトル決定
媒介変数表示
平方完成と二次関数の最小値
点と直線の距離による検算

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