九州大学 2025年数学第2問解答・解説

三角関数微分法積分法

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1問題

九州大学2025年度第2問配点 50点

この問題の解答は、解答紙16の定められた場所に記入しなさい。

【問題】以下の問いに答えよ。

(1) $y=\tan x$ とするとき、 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ を $y$ の整式で表せ。

(2) 次の定積分を求めよ。 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^{4}x-\tan^{2}x-2}{\tan^{2}x-4}\,dx$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) dy/dx = y^2 + 1 (2) 1 - (1/2)log 3$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $y=\tan x=\sin x/\cos x$ より $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x=1+y^2.$ (2) $t=\tan x$ とおくと $dt=(1+t^2)dx$ 、積分範囲は $0\le t\le1$ 。この範囲で分母 $t^2-4$ は0でない。 $\displaystyle I=\int_0^1\frac{(t^2-2)(t^2+1)}{(t^2-4)(1+t^2)}dt=\int_0^1\left(1+\frac2{t^2-4}\right)dt.$ $\displaystyle 2/(t^2-4)=\frac12\{1/(t-2)-1/(t+2)\}$ なので $\displaystyle I=\left[t+\frac12\log\left|\frac{t-2}{t+2}\right|\right]_0^1=1-\frac12\log3.$

この問題で使う考え方

商の微分
置換積分
部分分数

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