IV横浜市立大学 2021年 数学 第IV問解答・解説

(1) $t=\tan x$ とおくと $dt=dx/\cos^2x$ であり、 $$\displaystyle \frac{dx}{\sin x\cos x}=\frac{dt}{t}.$$ 従って不定積分は $\log|\tan x|+C$。

(2) 積の微分から $$\displaystyle \left(\frac1{\sin x\cos^{n+1}x}\right)' =-\frac1{\sin^2x\cos^n x}+\frac{n+1}{\cos^{n+2}x}.$$

(3) $\displaystyle I_n=\int dx/(\sin x\cos^n x)$、$F=1/(\sin x\cos^{n+1}x)$ とおく。(2)を使い部分積分すると $$\displaystyle I_n=\int F\cos x\,dx =F\sin x-\int F'\sin x\,dx =\frac1{\cos^{n+1}x}+I_n-(n+1)\int\frac{\sin x}{\cos^{n+2}x}\,dx.$$ よって $$\displaystyle \int\frac{\sin x}{\cos^{n+2}x}\,dx =\frac1{(n+1)\cos^{n+1}x}+C.$$ 一方、被積分関数の差より $$\displaystyle I_{n+2}-I_n=\int\left(\frac1{\sin x\cos^{n+2}x}-\frac1{\sin x\cos^n x}\right)dx =\int\frac{\sin x}{\cos^{n+2}x}\,dx.$$ 以上から $$\displaystyle I_n=-\frac1{(n+1)\cos^{n+1}x}+I_{n+2}+C.$$

(4) $t=\tan x$ とおくと $$\displaystyle \frac{dx}{\sin x\cos^3x}=\left(\frac1t+t\right)dt.$$ 積分端は $t=1$ から $t=\sqrt3$ なので $$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin x\cos^3x} =\left[\log t+\frac{t^2}{2}\right]_1^{\sqrt3} =1+\frac12\log3.$$

(2)でcos因子を正確に微分。(3)は(2)を使う部分積分後、I_{n+2}−I_nの被積分関数差を確認。(4)tan置換で上下端1,√3。