I横浜市立大学 2021年 数学 第I問解答・解説

(1) $a,b$ を最大公約数と最小公倍数で表すため、$a=Gx,\ b=Gy$ とおく。このとき $\gcd(x,y)=1$ であり、$L=Gxy$ である。したがって $$G^2\bigl((xy)^2-1\bigr)=72.$$ よって $G^2$ は $72=2^3\cdot3^2$ の平方数の約数なので、$G=1,2,3,6$ である。それぞれを代入すると、$G=1,2,3,6$ に対して $(xy)^2=73,19,9,3$ となる。平方数となるのは $G=3$ の場合だけで、このとき $xy=3$。また $x,y$ は互いに素だから、$(x,y)=(1,3),(3,1)$ である。よって $(a,b)=(3,9),(9,3)$。

(2) 3個のさいころの出方は $6^3=216$ 通りである。積が4の倍数でないのは、どのさいころも4を出さず、かつ2または6が出るさいころが高々1個のときである。その出方は、すべて奇数となる $3^3=27$ 通りと、2または6がちょうど1個出る $3\cdot2\cdot3^2=54$ 通り、合わせて $81$ 通りである。したがって求める確率は $$\displaystyle 1-\frac{81}{216}=\frac{5}{8}.$$

(3) $f(n)=an^2+bn+c$ とおくと、 $$f(n)-f(2)=(n-2)\{a(n+2)+b\}.$$ $a>0$ ならば $n$ を大きくすると $f(n)$ も大きくなるため、$n=2$ で最大値をとることはできない。$a\ne0$ より必要なのは $a<0$ である。このとき $n=1$ で $f(1)\le f(2)$ となる条件は $3a+b\ge0$、すなわち $b\ge-3a$ である。また $n\ge3$ では $a(n+2)+b$ は $n$ とともに減少するので、すべての $n\ge3$ で $f(n)\le f(2)$ となる必要十分条件は、最も厳しい $n=3$ についての $5a+b\le0$ である。従って $-3a\le b\le-5a$。$a<0$ に注意して $a$ で割ると、 $$\displaystyle -5\le\frac{b}{a}\le-3.$$ 以上より、アは $0$、イは $-5$、ウは $-3$ である。この条件の下では $n=1$ および $n\ge3$ のすべてで $f(n)\le f(2)$ となるから、必要性と十分性の両方が成り立つ。

(4) 直線 $l$ を $y=mx+k$、異なる接点の $x$ 座標を $u,v$ とする。差 $$D(x)=x^4-2x^3+x^2-(2+m)x+(2-k)$$ は $x=u,v$ でそれぞれ重解をもつ。最高次の係数は1であるから、$D(x)=(x-u)^2(x-v)^2$。$s=u+v,\ p=uv$ とおいて展開し係数を比較すると、 $$s=1,\qquad s^2+2p=1,\qquad -2sp=-(2+m),\qquad p^2=2-k.$$ 従って $p=0,\ m=-2,\ k=2$ であり、$u,v$ は $t^2-t=0$ の2根だから $0,1$ である。実際、曲線とこの直線との差は $x^2(x-1)^2$ で、$x=0,1$ において値と導関数がともに0となり、両点で接する。差は$0\le x\le1$ の範囲で非負で、他に交点はないから、囲まれる部分の面積は $$\displaystyle \int_0^1 x^2(x-1)^2\,dx=\int_0^1(x^4-2x^3+x^2)\,dx=\frac15-\frac12+\frac13=\frac1{30}.$$