1北里大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\alpha^2=(-2+2i)^2=-8i,\qquad \alpha^4=-64,\qquad \alpha^5=-64(-2+2i)=128-128i.$$ 条件を2乗すると $4|z-\alpha|^2=|z-\beta|^2$。平方完成すると中心 $$\displaystyle c=\frac{4\alpha-\beta}{3}=\frac{-11+7i}{3}$$ の円となる。その半径は $\displaystyle r=\frac{2}{3}|\alpha-\beta|=\frac{2\sqrt{26}}3$ である。中心の原点からの距離は $\displaystyle |c|=\frac{\sqrt{170}}3$ なので、円上での $|z|$ の最大値は $$\displaystyle |c|+r=\frac{\sqrt{170}+2\sqrt{26}}3.$$

(2) 問題文に対数の底の指定はない。通常の自然対数の記法 $\log=\ln$ を用いると $$\displaystyle y=\ln\frac{x}{1-x}\quad\text{すなわち}\quad e^y=\frac{x}{1-x} \quad\text{すなわち}\quad x=\frac{e^y}{1+e^y},$$ ゆえに $\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$ である（$\log$ を常用対数とする約束なら、ここだけ $e^x$ を $10^x$ に置き換える）。いずれの底でも $f^{-1}(x)$ の値域は $0<f^{-1}(x)<1$ である。したがって $f^{-1}(x)-a=0$ が実数解をもつ条件は $0<a<1$。

$u=f^{-1}(x)$ と置くと、次の方程式は $$\displaystyle u^2-bu-3b=0\quad\text{すなわち}\quad b=\frac{u^2}{u+3},\qquad 0<u<1$$ となる。右辺は正であり、$4u^2-u-3=(u-1)(4u+3)<0$ より $\displaystyle b<\frac14$。逆に $\displaystyle 0<b<\frac14$ なら、方程式の正の解 $$\displaystyle u=\frac{b+\sqrt{b^2+12b}}2$$ は $0<u<1$ を満たす。実際、$2-b>0$ であり、$\sqrt{b^2+12b}<2-b$ は $16b<4$ と同値である。よって求める範囲は $\displaystyle 0<b<\frac14$ である。

(3) まず $30x-23y=1$ を23で割った余りで考えると $7x\equiv1\pmod{23}$。$7\cdot10=3\cdot23+1$ より $x=10+23k$、$y=13+30k$ となる。正の整数となる最小の $k$ は0だから、$x+y$ が最小の組は $(10,13)$。

$A=\{30,60,\ldots,600\}$ なので $A$ の和は $30(1+\cdots+20)=6300$。また $B=\{4,27,\ldots,579\}$ なので、その和は $$\displaystyle 26\cdot\frac{4+579}{2}=7579.$$ 共通部分では $n=30r$、$1\le r\le20$ かつ $7r\equiv4\pmod{23}$。$7\cdot10\equiv1\pmod{23}$ から $r\equiv17\pmod{23}$ となり、該当するのは $r=17$、すなわち $n=510$ だけである。したがって和集合の和は $$6300+7579-510=13369.$$

$\sqrt{m^2+120}=n$（正の整数）と置くと $(n-m)(n+m)=120$。両因数は同じ偶奇であり、積が偶数なのでともに偶数である。$n-m=2r,\ n+m=2s$ とすれば $rs=30$、$s>r>0$、$m=s-r$。30の因数対 $(r,s)=(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)$ より $$m=29,13,7,1,$$ すなわち小さい順に $1,7,13,29$。

(4) 放物線 $y=x^2$ の $x=u$ における接線は $y=2ux-u^2$、傾きは $2u$。垂直条件から $4pq=-1$、よって $\displaystyle q=-\frac1{4p}$。2本の接線の交点の $x$ 座標は $\displaystyle m=\frac{p+q}{2}$。接線と放物線の差は $x^2-(2ux-u^2)=(x-u)^2$ だから、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S=\int_q^m(x-q)^2\,dx+\int_m^p(x-p)^2\,dx =\frac{(p-q)^3}{12} =\frac1{12}\left(p+\frac1{4p}\right)^3.$$

法線は $\displaystyle y=-\frac{x}{2u}+u^2+\frac12$ である。2本の法線の交点の $x$ 座標も $\displaystyle m=\frac{p+q}{2}$ となる。$\displaystyle d=\frac{p-q}{2}$ とすると、$q\le x\le m$ では法線 $Q$ 側と放物線との差が $\displaystyle (x-q)(-2q-\frac1{2q}-(x-q))$、$m\le x\le p$ では法線 $P$ 側と放物線との差が $\displaystyle (p-x)(2p+\frac1{2p}-(p-x))$ である。各区間の長さは $d$ だから $$\displaystyle T=\frac{d^2}{2}\left(-2q-\frac1{2q}+2p+\frac1{2p}\right)-\frac{2d^3}{3}.$$ $\displaystyle q=-\frac1{4p}$ より、括弧内は $\displaystyle 4(p+\frac1{4p})$、また $\displaystyle d=\frac12(p+\frac1{4p})$。従って $$\displaystyle T=\frac5{12}\left(p+\frac1{4p}\right)^3.$$ 相加相乗平均より $\displaystyle p+\frac1{4p}\ge 2\sqrt{\frac14}=1$、等号は $\displaystyle p=\frac12$ のとき成立する。したがって $T$ の最小値は $\displaystyle \frac5{12}$。

検算 (1) の円では $|z|$ の最大は中心と原点を結ぶ方向の円周上で $|c|+r$ となる。(3) の $m$ は因数対をすべて列挙した結果であり、(4) は最小を与える $p=1/2$、$q=-1/2$ を $4pq=-1$ に代入して接線の垂直条件も満たす。