2北里大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $x=\tan u$（$0\le u\le \pi/4$）と置換する。商の微分と $\sin^2u+\cos^2u=1$ から $\displaystyle \frac{dx}{du}=\frac{d}{du}\tan u=\frac{1}{\cos^2u}$ であり，$\displaystyle 1+x^2=1+\tan^2u=\frac{1}{\cos^2u}$ だから，置換積分により $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} =\int_0^{\pi/4}\frac{(1/\cos^2u)\,du}{1/\cos^2u} =\frac\pi4.$$

(2) $g(x)=e^x-1-x$ とおくと、$g(0)=0$、$g'(x)=e^x-1$ である。$x<0$ では $g'(x)<0$ なので、$g$ は $x<0$ で減少し、$g(x)>g(0)=0$。$x>0$ では $g'(x)>0$ なので、やはり $g(x)>g(0)=0$。したがって、$x\ne0$ で $$e^x>1+x.$$ 次に $x\ne0$ なら $x^2>0$ なので、上の不等式を $x^2$ に適用して $e^{x^2}>1+x^2$。両辺は正だから逆数をとると $$\displaystyle e^{-x^2}<\frac1{1+x^2}.$$

(3) $0<x\le1$ で (2) の第1不等式に $-x^2$ を代入すると $$e^{-x^2}>1-x^2.$$ また (2) の第2不等式から $\displaystyle e^{-x^2}<\frac1{1+x^2}$。これらを $0\le x\le1$ で積分し、(1) の結果を使えば $$\displaystyle \int_0^1e^{-x^2}\,dx>\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac23, \qquad \int_0^1e^{-x^2}\,dx<\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4.$$ よって所望の不等式が成り立つ。左右の被積分関数との不等号は $0<x\le1$ で厳密なので、積分後も厳密不等号である。 検算 $\displaystyle \frac23<\frac\pi4$ であり、被積分関数 $e^{-x^2}$ は $0\le x\le1$ で正なので得られた上下界と矛盾しない。